欧拉方程

变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的。但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程，因而容易求解，欧拉方程就是其中的一种

欧拉方程

$$x^{n}y^{(n)}+p_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy'+p_{n}y=f(x)$$

求解幂指函数问题通常会用到指数函数代换, 因为指数函数起着连接李群和李代数的桥梁作用。在这个框架下, $x=e^{ t }$代表了从李代数（在这里可以粗略地认为是微分算子）到李群（在这里是指数函数形成的群）的指数映射。这种映射能将线性微分算子的性质转换为更易处理的代数问题。

求解

欧拉方程的一个显著特点是其系数是 $x$ 的幂次函数。因此，我们可以通过以下变量替换将其化为常系数微分方程：
设 $t = \ln x$，则 $x = e^{t}$，并令 $z(t) = y(e^t)$。
利用链式法则：

$$\frac{d}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{1}{x}$$

记微分算子 $D = \dfrac{d}{dt}$，则 $x\dfrac{dy}{dx} = Dz$。
更高阶导数同理：

$$x^n \frac{d^n y}{dx^n} = D(D-1)\cdots(D-n+1)z$$

例如 $x\dfrac{dy}{dx}=z'$，$x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}=z''-z'$。

替换并简化方程

将 $t = \ln x$ 代入原方程，并利用上述导数关系 $x^n y^{(n)} = D(D-1)\cdots(D-n+1)z$，欧拉方程可以重写为一个常系数的微分方程。
设 $z(t) = y(e^t)$，则 $z(t)$ 满足的方程形式为：

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = f(e^t)$$

这时，我们得到一个常系数线性微分方程。

求解常系数线性微分方程

齐次方程的求解

对于齐次方程

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = 0$$

我们可以假设解的形式为 $z = e^{rt}$，代入得到特征方程：

$$r(r-1)\cdots(r-n+1)+p_{1}r(r-1)\cdots(r-n+2)+\cdots+p_{n-1}r+p_{n}=0$$

解出 $r$ 的值，即为齐次方程的解。

非齐次方程的求解

非齐次方程

$$D(D-1)\cdots(D-n+1)z+p_{1}D(D-1)\cdots(D-n+2)z+\cdots+p_{n-1}Dz+p_{n}z = f(e^t)$$

可以通过待定系数法或变分参数法求解。

回到原变量

求解 $z(t)$ 之后，通过 $z(t) = y(e^t)$，将解转换回原变量 $x$，即 $y(x) = z(\ln x)$。

示例

考虑具体方程：

$$x^2 y'' + 3x y' + y = 0$$

1. 变数替换：$t = \ln x$，$y(x) = z(t)$
2. 导数变换：$y' = \frac{1}{x} z'$, $y'' = \frac{1}{x^2} (z'' - z')$
3. 方程变为：

   $$(e^{2t}) \frac{1}{e^{2t}} (z'' - z') + 3e^t \frac{1}{e^t} z' + z = z'' + 2z' + z = 0$$

4. 解齐次方程：假设 $z = e^{rt}$

   $$r^2 + 2r + 1 = 0 \implies (r + 1)^2 = 0 \implies r = -1$$

   所以齐次解为 $z(t) = (c_1 + c_2 t) e^{-t}$
5. 回到原变量：

   $$y(x) = (c_1 + c_2 \ln x) \frac{1}{x}$$