跳至主要內容

使用扫雷雷率纠正概率 (编写中, 未完成)

LincZero2025/12/15

使用扫雷雷率纠正概率 (编写中, 未完成)

雷率

各自中含有雷的概率

也是: 假设没有开局保护 (如果有, 开局点击的那下必不为雷)，开局时随机开一格遇到的雷的概率

后续使用的雷率 RR 均为高级扫雷中的 99/(30×16)=99/480=33/160=20.625%99/(30\times 16)=99/480=33/160=20.625\%

1/2与1/2交汇1

? ? ?   or   ? ? ?
1 _ 1        2 x 2

这里这样两种结果: (1表示有雷，0表示无雷)

101
010

无雷率计算

如果不考虑雷率，他们的概率均为1/2:

Warning

常见误区: 并不是说由于中间那格被两个1/2重合，就会导致中间那格是雷的概率高于1/2或低于1/2

有雷率计算

如果考虑雷率R，且假设外部还有无数个待解的扫雷区域，则他们的概率为:

先验概率 (未条件化前):

k表示雷数,w表示权重,r为先验雷率=0.20625 {101:k=2,w1=r2(1−r)≈0.033765010:k=1,w2=r(1−r)2≈0.129946k表示雷数, w表示权重, r为先验雷率=0.20625\\~\\ \begin{cases} 101:k=2, &w1=r^2(1-r)&\approx 0.033765\\ 010:k=1, &w2=r(1-r)^2&\approx 0.129946 \end{cases}

归一化，并计算后验概率:

Z=w1+w2+w3P(101)=w1Z≈0.206248P(010)=w2Z≈0.793752Z=w1+w2+w3\\ \begin{aligned} P(101)=&\frac{w1}{Z}\approx 0.206248 \\ P(010)=&\frac{w2}{Z}\approx 0.793752 \\ \end{aligned}

然后发现和雷率很接近，后来我用分数算了一下，发现 P(101) 就等于雷率! 修正一下:

P(101)=w1Z=33160=0.20625P(010)=w2Z=127160=0.79375\begin{aligned} P(101)=&\frac{w1}{Z} =\frac{33}{160} = 0.20625 \\ P(010)=&\frac{w2}{Z} =\frac{127}{160} = 0.79375 \\ \end{aligned}

即：交汇格近八成 (1-雷率) 有雷 (可以赌一下，四局里会有一局赌错)

1/2与1/3交汇1

先说问题

在扫雷中，如果连续的四个格子abcd中，ab有一雷，bcd有一雷

如: (没标注的可以视为无数字格/被简化掉的格/墙壁)

? ? ? ?   or   ? ? ? ?
1 _ 1 _        2 x 3 x

那么这里的雷有三种情况：(1表示有雷，0表示无雷)

1010
1001
0100

无雷率计算

不考虑雷数的情况下，他们的概率均为1/3

Warning

常见误区: 并不是说由于第二格被多个1/N重合，就会导致中间那格是雷的概率高于1/3或低于1/3

这里也可以理解成规则2(1/3)进一步约束了规则1(1/2)，两个规则没有互补

有雷率计算

如果考虑高级扫雷的雷率大致为 99/480 (假设还有其他很多没开的格子，这里只是一个局部)，那么他们的概率分别是多少？

我们先算先验概率 (未条件化前):

k表示雷数,w表示权重,r为先验雷率=0.20625 {1010:k=2,w1=r2(1−r)2≈0.0268011001:k=2,w2=r2(1−r)2≈0.0268010100:k=1,w3=r(1−r)3≈0.103144k表示雷数, w表示权重, r为先验雷率=0.20625\\~\\ \begin{cases} 1010:k=2, &w1=r^2(1-r)^2&\approx 0.026801\\ 1001:k=2, &w2=r^2(1-r)^2&\approx 0.026801\\ 0100:k=1, &w3=r(1-r)^3&\approx 0.103144 \end{cases}

归一化，并计算后验概率:

Z=w1+w2+w3P(1010)=w1Z≈0.170983P(1001)=w2Z≈0.170983P(0100)=w3Z≈0.658032Z=w1+w2+w3\\ \begin{aligned} P(1010)=&\frac{w1}{Z}\approx 0.170983\\ P(1001)=&\frac{w2}{Z}\approx 0.170983\\ P(0100)=&\frac{w3}{Z}\approx 0.658032\\ \end{aligned}

即: 交汇格六成六有雷 (概率较低，不建议赌)

1/3与1/3交汇1

现在你对交汇区的计算应该比较熟练了，后面就简略一些

? ? ? ? ?    a b c d e
_ 1 _ 1 _    _ 1 _ 1 _

无雷率计算

下面五种情况各1/5

0 0 1 0 0

1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1

有雷率计算

先验:

0 0 1 0 0 = 0.0818707766819000244140625
1 0 0 1 0 = 0.0212735089015960693359375
1 0 0 0 1 = 0.0212735089015960693359375
0 1 0 1 0 = 0.0212735089015960693359375
0 1 0 0 1 = 0.0212735089015960693359375

后验:

0 0 1 0 0 = 0.490347
1 0 0 1 0 = 0.127413
1 0 0 0 1 = 0.127413
0 1 0 1 0 = 0.127413
0 1 0 0 1 = 0.127413

即: 交汇格五成有雷, 为五格中雷率最高的格子 (该信息价值不高)

1/3与1/3交汇2

现在你对交汇区的计算应该比较熟练了，后面就简略一些

? ? ? ?    a b c d
_ 1 1 _    _ 1 1 _

无雷率计算

无雷率则下面三种情况各1/3

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0

有雷率计算

先验:

1 0 0 1 = 0.02680127105712890625
0 1 0 0 = 0.10314428558349609375
0 0 1 0 = 0.10314428558349609375

后验:

1 0 0 1 = 0.114983
0 1 0 0 = 0.442509
0 0 1 0 = 0.442509

即: 交汇双格八成八有雷 (看起来是最好开两侧，但一般情况下11的两侧还会有更多约束，所以大概率不会是这个最终概率)

其他，不涉及多格概率问题

这部分其实不属于这章要讨论的主题。本文的主题原意是要指根据雷率去判断几种分布分别的概率，方便去在不得不进行猜测/竞速提前开时，进行一些简单的判断。但既然讨论到了其他那几种类似的情况，这里也把所有交汇的情况进行一个补全

1/2与1/2交汇2 (无意义)

1/2和1/2交汇2无意义，还是1/2。不涉及多格概率问题

1
? ?
1

1/2和1/3交汇2 (边一一定式，可判断安全区)

这种在边边比较常见，不难判断出一个安全区的位置。不涉及多格概率问题

? ? ?
1 1 _

为

? ? _
1 1 _

1/2和2/3交汇2 (边一二定式，可判断雷区)

这种在边边比较常见，不难判断出一个雷区的位置。不涉及多格概率问题

? ? ?
1 2 _

为

? ? x
1 2 _

1/3与2/3交汇2 (即一二定式，可判断一安一雷)

特殊: 1/3 和 2/3 交汇，就是在之前 扫雷高级定式 中说到过的 一二定式。不涉及多格概率问题

  • 100% 0 ? ? 1
    • 1/2: 0 1 0 1
    • 1/2: 0 0 1 1

其他 - 2/3

1/2与2/3交汇1

? ? ? ?
1 _ 2 _

情况种类+先验:

0 1 1 0 = 0.02680127105712890625
0 1 0 1 = 0.02680127105712890625
1 0 1 1 = 0.00696410980224609375

后验:

0 1 1 0 = 0.44250871080139372822299651567944
0 1 0 1 = 0.44250871080139372822299651567944
1 0 1 1 = 0.11498257839721254355400696864111

结论: 交汇区八成八有雷，1的外端八成八无雷，可先点

1/3与2/3交汇1

? ? ? ? ?
_ 1 _ 2 _

情况种类:

0 0 1 1 0
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1

先验:

0 0 1 1 0 = 0.0212735089015960693359375
0 0 1 0 1 = 0.0212735089015960693359375
1 0 0 1 1 = 0.0055277621555328369140625
0 1 0 1 1 = 0.0055277621555328369140625

后验:

0 0 1 1 0 = 0.396875
0 0 1 0 1 = 0.396875
1 0 0 1 1 = 0.103125
0 1 0 1 1 = 0.103125

结论: 中间有雷&数字一一端无类概率，为安全率。交汇格有雷概率为22.625%。可以先点1侧的两格

2/3与2/3交汇1

? ? ? ? ?
_ 2 _ 2 _

先验

1 0 1 1 0 = 0.0055277621555328369140625
1 0 1 0 1 = 0.0055277621555328369140625
0 1 1 1 0 = 0.0055277621555328369140625
0 1 1 0 1 = 0.0055277621555328369140625
1 1 0 1 1 = 0.0014363476467132568359375

后验

1 0 1 1 0 = 0.23475046210720887245841035120148
1 0 1 0 1 = 0.23475046210720887245841035120148
0 1 1 1 0 = 0.23475046210720887245841035120148
0 1 1 0 1 = 0.23475046210720887245841035120148
1 1 0 1 1 = 0.060998151571164510166358595194085

没啥意义

2/3与2/3交汇2

? ? ? ?
_ 2 2 _

先验

0 1 1 0 = 0.02680127105712890625
1 0 1 1 = 0.00696410980224609375
1 1 0 1 = 0.00696410980224609375

后验

0 1 1 0 = 0.65803108808290155440414507772021
1 0 1 1 = 0.1709844559585492227979274611399
1 1 0 1 = 0.1709844559585492227979274611399

四格概率问题 (特殊的1/2与1/2交汇)

在扫雷高级定式里说过这个问题，其实这也算是一种特殊的 1/2与1/2交汇 问题。

如: (没标注的可以视为无数字格/被简化掉的格/墙壁)

a b
c d

or

_ 1 1
1 ? ?
1 ? ?

即ab有一雷，ac有一雷，问分别有雷的概率是?

这里一般是假设a有雷而bc无雷，说是概率高达80%。然后再根据开的情况看d有无雷

无雷率计算

如果是一雷，则只能是:

10
00

如果是二雷，则可以是

01   or   10
10        01

如果是三雷 (概率极低), 则只能是:

01
11

有雷率计算

cab 三格同 1/2与1/2交汇, 至于最右下一格, 则约也是按雷率的来

10   p1=(1-r)^2 = 0.630039
00

10   p2=(1-r)r  = 0.163710
01

01   p3=(1-r)r  = 0.163710
10

01   p4=r^2     = 0.042539
11

p1+p2 = (1-r) = 近8成，可以直接点对角

根据剩余雷数的收尾问题

不过与平面形式不同的是，如果不追求竞速而是准确率 (即对于需要猜的，都会等最后的剩余雷数确定了后再去解)，即这种四格形式会更多地常见于最后的收尾阶段。

对于剩1或3雷的情况，可以直接推出。不过剩3雷的概率很低，只有4%! 如果碰到了且不为竞速，最好检查一下有没有标漏雷

此外，先点两侧无雷的概率很大，是因为只有一雷的概率很大。当剩余两雷的时候，bc有雷和ad有雷的概率都是 50%，而不再是bc无雷概率高达 79%

交汇普适算法

无雷率计算

把这个规律普适化（两块区域只重叠 1 个格子的情况）：

区域A:Na个格子，其中Na′个雷区域B:Nb个格子，其中Nb′个雷两者只重叠1个格子x，问x是雷的概率？\begin{aligned} & 区域 A: Na 个格子，其中 Na' 个雷\\ & 区域 B: Nb 个格子，其中 Nb' 个雷\\ & 两者只重叠 1 个格子 x，问 x 是雷的概率？ \end{aligned}

将所有满足两个计数约束的布局等概率，则：

x=1时: A其余Na−1个格子放:Na′−1个雷B其余Nb−1个格子放:Nb′−1个雷组合数：C(Na−1,Na′−1)×C(Nb−1,Nb′−1)x=0时: A其余Na−1个格子放:Na′个雷B其余Nb−1个格子放:Nb′个雷组合数：C(Na−1,Na′)×C(Nb−1,Nb′)\begin{aligned} x=1 时:~ &A 其余 Na−1 个格子放: Na'−1 个雷\\ &B 其余 Nb−1 个格子放: Nb'−1 个雷\\ &组合数：C(Na−1, Na′−1)\times C(Nb−1, Nb′−1)\\ x=0 时:~ &A 其余 Na−1 个格子放: Na' 个雷\\ &B 其余 Nb−1 个格子放: Nb' 个雷\\ &组合数：C(Na−1, Na′)\times C(Nb−1, Nb′) \end{aligned}

归一化后：

P(x=1)=Cx=1Cx=1+Cx=0=C(Na−1,Na′−1)×C(Nb−1,Nb′−1)    C(Na−1,Na′−1)×C(Nb−1,Nb′−1)+C(Na−1,Na′)×C(Nb−1,Nb′) P(x=0)=1−P(x=1)\begin{aligned} P(x=1) &= \frac {C_{x=1}} {C_{x=1}+C_{x=0}}\\ &= \frac{C(Na−1, Na'−1) \times C(Nb−1, Nb'−1)}     { C(Na−1, Na'−1) \times C(Nb−1, Nb'−1) + C(Na−1 , Na') \times C(Nb−1, Nb')}\\ \\~\\ P(x=0) &= 1 − P(x=1) \end{aligned}

代回1/2与1/3交汇的例子：

Na=2,Na′=1,Nb=3,Nb′=1P(x=1)=1×11×1+1×2=13Na=2, Na'=1, Nb=3, Nb'=1 \\ P(x=1)=\frac {1\times1}{1\times1+1\times2}=\frac 13

验证正确，和前面算出来的一致。

同理，可进一步扩展到重叠N个格子的情况 (需考去除不可能出现的情况，负数的情况)

有雷率计算

略。不给通用公式了。反正是先把组合列出来，然后先根据雷率R计算分别的先验概率。然后计算条件约束后，归一化得到后验概率就行

总结表

以二数字格为基础判断的扫雷总结表

交汇区一

交汇区二

交汇数

参考

示例

1/2

1/2

1

一的两外侧大概率无雷，P(abc=010)=安全率=79.375%

a b c
1 _ 1
# P(abc=010)=安全率=79.375%

2

无意义

a b
1 1
# 无意义

1/2

1/3

1

一的三外侧大概率无雷，65.8032%，大于一半

a b c d
1 _ 1 _
# P(abcd=0100)=65.8032%

2

边一一定式, 可判断安全区

a b c
1 1 _
# c安全

1/2

2/3

1

一外侧大概率无雷，88.5018%

a b c d
1 _ 2 _
# P(ab=01)=88.5018%

2

边一二定式，可判断雷区

a b c
1 2 _
# c为雷

1/3

1/3

1

交汇格近五成有雷，此信息价值不大

a b c d e
_ 1 _ 1 _
# P(c=1)=0.490347

2

一的两外侧大概率无雷，88.5018%。看起来应开两端，但一般还有更多约束

a b c d
_ 1 1 _
# P(a=0&&d=0)=88.5018%

1/3

2/3

1

一的两外侧大概率无雷，P(abc=001)=安全率=79.375%

a b c d e
_ 1 _ 2 _
# P(ab=001)=安全率=79.375%

2

一二定式，可判一安一雷

a b c d
_ 1 2 _
# a为安全，d为雷

2/3

2/3

1

没啥用，很难猜

a b c d e
_ 2 _ 2 _
# P(11011) = 0.060998

2

二的两外侧大概率无雷，P(0110)=65.8031%

a b c d
_ 2 2 _
# P(0110) = 0.658031

话说几组数字多次出现了:

  • 0.885018 | 出现两次, 一外侧&一的两外侧
  • 0.79375 | (安全率) 出现两次，均为一两外侧无雷率
  • 0.658031 | 出现两次，1的三外侧&二的两外侧
链接到当前文件 0
没有文件链接到当前文件