空间直线

一般式

空间直线由两平面相交来定义, 将两空间平面方程联立

$$\left\{ \begin{aligned} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{aligned} \right.$$

对称式/点向式

根据一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$与方向向量$s=(m,n,p)$定义

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

参数式

根据对称式方程, 设:

$$t=\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

则可以得到

$$\left\{ \begin{aligned} x&=x_0+mt\\ y&=y_0+nt\\ z&=z_0+pt \end{aligned} \right.$$

两直线夹角

定义: 两直线的方向向量的夹角 (锐角)
设直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{s_1} = (m_1, n_1, p_1)$ 和 $\boldsymbol{s_2} = (m_2, n_2, p_2)$,
则 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角 $\phi$ 由以下公式确定:

$$\cos \phi = \frac{| \boldsymbol{s_1} \cdot \boldsymbol{s_2} |}{|\boldsymbol{s_1}||\boldsymbol{s_2}|} = \frac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}$$

锐角的确定方法

由于 $\cos \phi$ 的值可以为负, 若直接计算 $\phi = \arccos \left(\frac{\boldsymbol{s_1} \cdot \boldsymbol{s_2}}{|\boldsymbol{s_1}||\boldsymbol{s_2}|} \right)$ 可能得到钝角. 如果需要计算锐角, 可以取绝对值 $\left| \cos \phi \right|$, 确保计算结果在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 范围内.

$$\phi_{\text{acute}} = \arccos \left( \left| \frac{\boldsymbol{s_1} \cdot \boldsymbol{s_2}}{|\boldsymbol{s_1}||\boldsymbol{s_2}|} \right| \right)$$