矩生成函数

顾名思义, 就是可以用来生成原点矩和中心距的函数

定义

离散

定义

$$M_{x}​(t)=E[e^{ tX }]=∑e^{ tx }P(X=x)$$

连续

定义

$$M_{X}​(t)=E[e^{ tX }]=\int_{x} e^{ tx }f(x)dx$$

• 这是个定积分，上下限是x的定义域；
• 矩生成函数的计算结果是$t$的函数，与$x$无关

性质

$M_X(t)$的n次导数在$t=0$时有:

$$[M_X(t)]^{(n)}_{t=0}=E[X^n]$$