草稿

正定矩阵和半正定矩阵是线性代数和优化中的重要概念，它们具有一些非常有用的性质和结论，特别是在最优化问题中。让我详细解释一下它们的定义、性质以及这些性质如何在实际问题中被利用。

正定矩阵与半正定矩阵的定义

• 正定矩阵：一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为正定矩阵，如果对于所有非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：

  $$x^T A x > 0$$

  这意味着任何非零向量 $x$ 乘以 $A$ 后，再与 $x$ 内积，结果总是正数。

• 半正定矩阵：一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为半正定矩阵，如果对于所有向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：

  $$x^T A x \geq 0$$

  这里允许 $x^T A x$ 为零，但它不能为负数。

正定矩阵的性质

1. 唯一性：如果 $A$ 是正定的，那么线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。这是因为正定矩阵总是可逆的（不存在零特征值），其逆矩阵也是正定的。

2. 特征值：正定矩阵的所有特征值都是正数。半正定矩阵的所有特征值都是非负数。

3. 矩阵的平方根：如果 $A$ 是正定矩阵，那么存在一个唯一的正定矩阵 $B$ 使得 $B^2 = A$，这个矩阵 $B$ 称为 $A$ 的平方根。

4. 最优化中的应用：在二次型最小化问题中，如果二次型的系数矩阵是正定的，那么目标函数具有唯一的最小值。具体到问题中的损失函数 $L(x) = \frac{1}{2} x^T W^T W x - x^T W^T b + \text{const}$，如果 $W^T W$ 是正定的，那么该损失函数具有唯一的最小值。

半正定矩阵的性质

1. 可能的多解性：如果 $A$ 是半正定的，那么线性方程组 $Ax = b$ 可能有无穷多解（当 $A$ 不是满秩的情况）。

2. 特征值：半正定矩阵的特征值是非负的，这意味着它的最小特征值是零或正数。

3. 最优化中的应用：在最小化一个以半正定矩阵为系数的二次型函数时，如果矩阵是半正定但不是正定的，最小值可能不唯一，且可能出现在一个子空间上。

实际问题中的应用

在优化问题中，正定和半正定矩阵的性质决定了目标函数的形状和解的唯一性：

• 正定矩阵的作用：在二次型最优化问题中，如 $\min_x \frac{1}{2} x^T A x + b^T x + c$，如果 $A$ 是正定矩阵，那么目标函数是一个严格凸函数，只有一个全局最小值。

• 半正定矩阵的作用：如果 $A$ 是半正定矩阵，那么目标函数是凸的，但可能存在平坦区域，这些区域会导致多个最小值，即解可能不唯一。

小结

• 正定矩阵：确保唯一解和严格凸性。
• 半正定矩阵：保证凸性，但解可能不唯一。

这些性质在优化问题、稳定性分析、机器学习（如支持向量机、线性回归）中广泛应用。正是因为这些性质，在线性方程组的解、优化问题的最小值以及特征值问题中，正定和半正定矩阵的概念非常重要。

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问题 1 的答案

基于问题假设的分析

假设方程 (1) 中的偏微分方程为 $u(x,y) = g(x)h(y)$。 然后计算 $u$ 的偏导数，并将其代入原方程。

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = g''(x) h(y), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = g(x) h''(y)$$

将这些内容代入方程（1）可以得到

$$g''(x) h(y) + g(x) h''(y) = 0$$

如果$h(y)$和$g(x)$都不为零，则用$g(x) h(y)$除以上式。

$$\frac{g''(x)}{g(x)} + \frac{h''(y)}{h(y)} = 0$$

在这里，由于 $\frac{g''(x)}{g(x)} = -\frac{h''(y)}{h(y)}$ 成立，所以两边作为 $x$ 或 $y$ 的函数都是独立的，并且可以用常数 $\lambda$ 表示如下

$$\frac{g''(x)}{g(x)} = \lambda, \quad \frac{h''(y)}{h(y)} = -\lambda$$

$\lambda$ 符号的证明。

因为 $u(x,y)$ 满足边界条件 $u(0, y) = u(2, y) = 0$，所以考虑 $g(x)$、

$$g(0) = 0, \quad g(2) = 0$$

对于这样的$g(x)$有一个非三维解（一个$g(x) \neq 0$ 的函数），其形式与特征值问题中经常出现的形式相同、

$$g''(x) = \lambda g(x)$$

我们需要考虑的形式是 其中 $\lambda$ 为正值，$g(x)$ 的解是指数递增或递减函数，不满足边界条件 $g(0) = g(2) = 0$。 因此，$\lambda$ 必须是负值。

如果 $\lambda < 0$，让 $\lambda = -\mu^2$ （$\mu > 0$）

$$g(x) = A \cos(\mu x) + B \sin(\mu x)$$

这意味着 $A = 0$ 和 $mu = \frac{n \pi}{2}$（其中 $n$ 为整数）必须满足边界条件。 除非 $\lambda$ 为负数，否则这是不可行的。

由上可知，$\lambda$ 必须为负数。

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为了解释为什么可以从 $u(x,y)$ 的边界条件推导出 $g(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=2$ 时的值，我们需要回顾一下边界条件和我们对 $u(x,y) = g(x)h(y)$ 的假设。

分析边界条件

根据题目，边界条件是：

• $u(0,y) = 0$ 对于所有的 $0 \leq y \leq 3$
• $u(2,y) = 0$ 对于所有的 $0 \leq y \leq 3$

同时假设 $u(x,y) = g(x)h(y)$。

推导 $g(x)$ 的值

由于 $u(0, y) = g(0)h(y) = 0$ 对所有 $y$ 成立，我们首先考虑 $h(y)$ 不恒等于零（如果 $h(y) \equiv 0$，那么 $u(x,y)$ 就恒为零，与题目的条件“$u(x,y)$ 非恒等于零”矛盾）。

既然 $h(y)$ 在至少一点（或者更多点）不为零，那么要使 $u(0, y) = 0$ 对所有 $y$ 成立，$g(0)$ 必须等于 0。同样的逻辑也适用于 $x=2$ 的情况，即 $u(2, y) = g(2)h(y) = 0$。所以，$g(2)$ 也必须等于 0。

结论

这样我们就可以根据 $u(x,y) = g(x)h(y)$ 的假设，直接从 $u(x,y)$ 的边界条件得到 $g(x)$ 在特定位置（$x=0$ 和 $x=2$）的值。这种方法有效是因为我们考虑了 $h(y)$ 非零的情况，并推理出 $g(x)$ 必须在这些点为零以满足边界条件。

计算 $\frac{d}{dx} \log_x(y)$

1. 问题分析

我们需要计算 $\frac{d}{dx} \log_x(y)$，其中 $\log_x(y)$ 表示以 $x$ 为底 $y$ 的对数，即满足以下关系的函数：

$$\log_x(y) = z \quad \text{当且仅当} \quad x^z = y$$

2. 使用反函数求导法则

反函数求导法则指出，如果 $y = f(x)$，并且 $f$ 在其定义域内可微且严格单调，那么其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 的导数为：

$$\frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{其中} \quad x = f^{-1}(y)$$

3. 设定关系并求导

考虑对数的定义，我们可以表示 $\log_x(y)$ 为：

$$z = \log_x(y) \implies x^z = y$$

将此方程两边对 $x$ 求导：

$$\frac{d}{dx}(x^z) = \frac{d}{dx}(y)$$

应用隐函数求导法和链式法则，计算左边的导数：

$$z \cdot x^{z-1} + x^z \cdot \frac{dz}{dx} \cdot \ln(x) = 0$$

整理得到：

$$x^z \cdot \frac{dz}{dx} \cdot \ln(x) = -z \cdot x^{z-1}$$

$$\frac{dz}{dx} = \frac{-z}{x \ln(x)}$$

注意到 $z = \log_x(y)$，我们得到：

$$\frac{d}{dx} \log_x(y) = \frac{-\log_x(y)}{x \ln(x)}$$

4. 结论

因此，导数 $\frac{d}{dx} \log_x(y)$ 可以表示为：

$$\frac{d}{dx} \log_x(y) = \frac{-\log_x(y)}{x \ln(x)}$$

总结

在计算 $\frac{d}{dx} \log_x(y)$ 时，可以有效地使用反函数求导法则，通过隐函数和链式法则推导出结果。这一方法对多步计算特别有用，尤其是在涉及复合函数的情况下。