隐函数求导

简介

在微积分中, 我们不仅需要处理 $y=f(x)$ 形式的显函数, 还会遇到由方程 $F(x,y)=0$ 定义的隐函数. 本文档主要探讨如何在不将隐函数“显化”的情况下求出其导数 $\frac{dy}{dx}$.

定义

一般而言, 形如 $y=f(x)$ 这样明确表示出因变量 $y$ 和自变量 $x$ 之间关系的函数称为显函数.
隐函数
隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会给出定义良好的隐函数。
隐函数定理

隐函数求导方法

当函数 $y=f(x)$ 由方程 $F(x,y)=0$ 确定时, 可使用隐函数求导法求其导数 $\frac{dy}{dx}$, 而无需将其显化:

1. 将方程 $F(x,y)=0$ 两边同时对 $x$ 求导.
2. 在求导过程中, 视 $y$ 为 $x$ 的函数, 即 $y=y(x)$. 任何包含 $y$ 的项都需使用链式法则, 例如 $\frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$.
3. 求导后, 得到一个包含 $x$, $y$, 和 $\frac{dy}{dx}$ 的新方程.
4. 通过代数运算, 解出 $\frac{dy}{dx}$.

示例

求由方程 $x^2 + y^2 = 25$ 所确定的隐函数在点 $(3, 4)$ 处的导数.
解:

1. 方程两边同时对 $x$ 求导 (注意 $y$ 是 $x$ 的函数, 使用链式法则):

   $$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25)$$

   $$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$

2. 解出 $\frac{dy}{dx}$:

   $$2y \frac{dy}{dx} = -2x$$

   $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$

3. 代入点 $(3, 4)$:

   $$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}$$

---

推广: 对数求导法

在某些情况下, 即使函数是显函数 $y=f(x)$, 直接求导也可能非常繁琐 (如幂指函数). 此时, 我们可以先将其转化为隐函数形式（通过取对数）再求导. 这种方法称为对数求导法.
对数求导法

示例

幂指函数

求 $y=x^{\sin(x)}$ 的导数.
解:

1. 两边取自然对数:

   $$\ln y = \ln(x^{\sin(x)}) = \sin(x) \cdot \ln(x)$$

2. 将 $\ln y = \sin(x) \cdot \ln(x)$ 视为隐函数, 两边对 $x$ 求导:

   $$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \ln(x))$$

   $$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos(x) \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}$$

3. 解出 $\frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$:

   $$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)$$

   $$\frac{dy}{dx} = x^{\sin(x)} \left( \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right)$$

复杂乘积

求 $y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数.
解:

1. 两边取自然对数并使用对数性质:

   $$\ln y = \ln \left( \left( \frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \right)^{1/2} \right)$$

   $$\ln y = \frac{1}{2} \left[ \ln(x-1) + \ln(x-2) - \ln(x-3) - \ln(x-4) \right]$$

2. 两边对 $x$ 求导:

   $$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} \right]$$

3. 解出 $\frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} \left[ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} \right]$$