在隐函数定义的多变量关系中，我们想找到某变量对其他变量的偏导数, 需要用隐函数定理

隐函数定理1

如果函数 $F(x, y)=0$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处连续可微，且 $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$，则F可确定一个唯一的连续可微的隐函数 $y = f(x)$ 使得 $F(x, f(x)) = 0$。此时，$y$ 关于 $x$ 的导数可以表示为：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$

示例

Example

假设有隐函数 $F(x, y) = x^2 + y^2 - 1=0$，我们想找到 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。

1. 计算 $F$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数：

   $$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 1) = 2x$$

   $$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 1) = 2y$$

2. 代入隐函数定理公式：

   $$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$$

隐函数定理2

三维情形

隐函数定理3

方程组情形，使用雅可比行列式