雅可比行列式

简介

雅可比行列式是雅可比矩阵为方阵($m=n$)时的行列式。

定义

雅可比行列式

当一个向量函数 $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ (即输入和输出维度相同) 时, 其雅可比矩阵 $J$ 是一个 $n \times n$ 的方阵。

这个方阵的行列式 $\det(J)$ 就被称为雅可比行列式 (Jacobian Determinant)。

$$\frac{\partial(f_1, \ldots, f_n)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}$$

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应用

雅可比行列式的值（是否为零）和绝对值具有重要意义：

1. 非奇异性判断 (值 $\ne 0$)

雅可比行列式不为零是函数局部行为良好的关键指标。

• 反函数定理：$J \ne 0$ 是函数在某点附近存在可微反函数的充分条件。
• 隐函数定理：相关变量的雅可比行列式 $J_y \ne 0$ 是方程组能解出隐函数的充分条件。

2. 体积缩放因子 (绝对值 $|J|$)

在多重积分换元中, 雅可比行列式的绝对值 $|J|$ 充当了坐标变换时“体积微元” $dV$ 的缩放因子。

$$\iint_D f(x,y) \,dx\,dy = \iint_{D^*} f(g(u,v), h(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \,du\,dv$$