导数定义

函数在某一点的导数

函数图像在某一点$x_{0}$的切线斜率

$$\lim_{ x \to x_{0} } \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$$

函数的导函数

在定义域内任意点的$y$的变化率关于$x$的函数$y'$称为函数$y=f(x)$的导函数, 写作$y'=f'(x)$. 由此可见导数$y'$的定义依赖于原函数$y$

因为语义污染, 导函数变成了导数, 而这个导数和前面的在一点的导数冲突, 含义却不一样, 所以在形容某一点的导数的时候必须要加上限定词"在某一点的", 而导数在他们语境中特指"导函数". 下面提供一个表格描述他们的关系:

小结	$\lim_{ x \to x_{0} } \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$	$f'(x)$
准确描述	函数在某一点的导数	导函数
通俗说法	导数	导数

单侧导数

如果使用极限来定义函数的导数, 那么根据极限的定义, 导数也能分为左导数$f'(x^-)$和右导数$f'(x^+)$.
连续函数的左右导数不一定存在，也不一定相等（如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续，但左、右导数分别为 $-1$ 与 $1$）。左右导数与可导性的讨论见单侧导数，可导与连续的关系见可导与连续的关系

导数的几何意义

$x$所确定的点的切线斜率关于$x$的函数