函数项级数

定义

函数项级数是由函数组成的级数，将一列函数 $f_0(x), f_1(x), \ldots$ 相加，得到的表达式称为函数项级数。其一般形式为：

$$S_N(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)$$

如果将这个过程反过来, 则可以利用简单的多项式形式逼近复杂函数，且在收敛区间内具有良好的解析性。通过将函数化为函数项级数，可以方便地处理函数的加法、乘法、微分和积分

性质

• 收敛性：函数项级数在某点 $x$ 上收敛的条件是部分和：

$$S_N(x) = \sum_{n=0}^N f_n(x)$$

在 $N \to \infty$ 时收敛到有限值。

• 一致收敛：若函数项级数在某区间上均匀收敛，则可以对其进行逐项积分或逐项微分。

与泰勒公式的区别

函数项级数和泰勒公式在形式上很相似，但它们的本质和用途有明显的区别, 这是很容易混淆的点。

泰勒级数

• 泰勒公式只能在某点邻域内逼近函数，通常无法保证全局一致性.
• 泰勒级数是一个特殊的函数项级数,它是围绕某点x₀将函数展开成幂级数的形式.
• 泰勒级数的收敛域取决于函数的解析性, 系数完全由展开点的局部信息(各阶导数)决定

函数项级数

• 函数项级数通常可以通过选择合适的形式在全局逼近原函数。虽然某些特殊的函数项级数确实可以在更大的区间上逼近函数, 但这并不意味着任意函数都能找到一个在全局收敛的函数项级数展开