广义二项式定理

简介

广义二项式公式是普通二项式定理和几何级数的扩展，适用于幂指数为任意实数或复数的情况。在数学分析和无穷级数领域中，这是一个重要的工具，尤其在处理类似 $(1 - u)^{-k}$ 这种高次幂分母时。

定义

公式的形式为：

$$(x + y)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^{\alpha-n} y^n, \quad |y/x| < 1,$$

其中：

• $\alpha$ 是任意实数或复数；
• $\binom{\alpha}{n}$ 是广义二项式系数，定义为：

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!},$$

适用于 $n \geq 1$，而 $\binom{\alpha}{0} = 1$。

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对比

二项式定理 这是经典的二项式定理，且系数 $\binom{\alpha}{n}$ 的定义与普通组合数一致。

当 $\alpha$ 是非整数时，展开变为无穷级数。这时公式依赖广义二项式系数的定义，将其扩展到任意实数或复数。

特殊形式

对于 $(1+x)^\alpha$，当 $|x| < 1$ 时，可以直接展开为：

$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n,$$

其中广义二项式系数为：

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}.$$

这是复分析和级数展开中更常用的形式

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示例

以 $(1-\frac{z}{2})^{-2}$ 为例：

1. 识别形式
   这里 $(1-\frac{z}{2})^{-2}$ 是 $(1+x)^\alpha$ 的特殊情况，取 $\alpha = -2$，$x = -\frac{z}{2}$。
2. 使用广义二项式公式
   展开为：

$$(1-\frac{z}{2})^{-2} = \sum_{n=0}^\infty \binom{-2}{n} \left(-\frac{z}{2}\right)^n.$$

3. 计算系数
   利用 $\binom{-2}{n} = \frac{(-2)(-2-1)(-2-2)\cdots(-2-n+1)}{n!} = \frac{(-1)^n (n+1)}{n!}$，代入后得：

$$\frac{1}{(1-\frac{z}{2})^2} = \sum_{n=0}^\infty (n+1) \left(\frac{z}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{2^n} z^n.$$