可加性

简介

可加性是泛函分析和算子理论中的核心概念，描述算子是否保持加法结构，是研究线性算子和线性映射的基础。

定义

可加性

设映射 $T: S \to S$，若满足：

$$T(a+b) = T(a) + T(b),\quad \forall a,b \in S$$

则称 $T$ 为可加算子。

与线性的关系

可加性是比线性更弱的条件。线性还需满足齐次性：

$$T(\alpha a) = \alpha T(a),\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}$$

示例

1. 导数算子：$D(f) = f'$ 是可加的，因为 $D(f+g) = D(f) + D(g)$。
2. 积分算子：$I(f) = \int f$ 是可加的，因为 $I(f+g) = I(f) + I(g)$。

应用

1. 泛函分析：可加性是研究线性泛函的基础。
2. 概率论：期望算子 $E$ 是可加的，即 $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。
3. 量子力学：哈密顿算子的可加性是叠加原理的数学基础。