多元函数基本概念

概要

从单变量函数到高维分析的过渡, 主要回答两个根本问题:

1. 高维空间中如何描述点与集合？
2. 高维空间函数又是什么形式？

本节从几何视角引入点集与空间结构, 这些定义共同支撑后续多元函数的"极限" "连续" "偏导" "梯度" 等所有分析概念.

学习顺序

多元函数分析建立在"空间 + 映射 + 性质" 的结构之上:

顺序	名称	内容要点	后续依赖
1	平面点集	从几何角度定义平面上的点集合与邻域概念	→ 构造二维函数的定义域
2	n维空间	将平面点集推广至 $\mathbb{R}^n$, 引入距离与开集	→ 建立一般度量框架
3	多元函数的定义	描述从 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射关系	→ 为极限提供对象
4	多元函数的极限	研究函数值随自变量接近某点时的收敛性	→ 引出连续性与偏导数
5	多元函数的连续性	探讨函数在一点处是否"无突变"	→ 连接到微分与可导性

学习指引

• 若你首次学习多元函数, 请先确保理解平面点集中的邻域与边界点概念;
• 若你已熟悉线性空间, 可直接从n维空间入手;
• 本节之后的多元函数的极限和多元函数的连续性是通向微分的重要桥梁.