向量场的曲线积分

二维或三维空间中，沿给定曲线对向量场进行积分，计算向量场与曲线切线方向的点乘在曲线上的积分。

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

向量场的曲线积分主要解决变力沿曲线做功问题, 这里的$F$就可以理解为向量场(重力场 电场 磁场等), 即为每个位置矢量$r$映射一个向量$F$, $F$沿着特定的方向$r$的分量即为在这个方向上所作的功

性质

与标量场的曲线积分类似, 有以下性质

• 线性
• 线积分区间可加性
• 积分路径的方向性

计算

1. 分量形式
   在二维情况下，向量场 $\mathbf{F}$ 和曲线微分 $\mathbf{r}$ 可分解为各坐标分量：

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C P(x, y) dx + \int_C Q(x, y) dy$$

曲线积分可转化为对坐标的积分。

2. 参数化形式，若曲线 $C$ 的参数方程为：

$$\left\{ \begin{aligned} x &= \phi(t) \\ y &= \psi(t) \end{aligned} \right., \quad \alpha \leq t \leq \beta$$

则积分可以表示为参数 $t$ 的定积分：

$$\int_C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int_\alpha^\beta \left[ P(\phi(t), \psi(t)) \phi'(t) + Q(\phi(t), \psi(t)) \psi'(t) \right] dt$$

3. 如果 $x$ 和 $y$ 存在显式关系 $y = \phi(x)$，积分可以简化为：

$$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{x_1}^{x_2} P(x, \phi(x)) + Q(x, \phi(x)) \phi'(x) dx$$

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