保守场

保守场是一个特殊的向量场. 如果向量场 $\mathbf{F}$ 是某个标量函数 $\phi$ 的梯度，即：

$$\mathbf{F} = \nabla \phi$$

则向量场在区域 $D$ 内是保守场.

性质

从定义出发，可以推导出两个性质, 如果区域是单连通的，旋度为零和路径独立性是保守场的充分必要条件

路径无关

保守场的路径积分与路径无关，只取决于起点和终点。这意味着在保守场中，从一个点到另一个点的曲线积分只依赖于这两个点的位置，而与路径的选择无关 若向量场 $\vec{F}$ 为保守场

$$\int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

则曲线积分与积分路径无关

无旋向量场

保守向量场$\mathbf{v}$是无旋的

$$\nabla \times \mathbf{v} = 0.$$

由于这个原因，这种向量场有时称为无旋向量场。

对于任何标量场$\varphi$，都有：

$$\nabla \times \nabla \varphi = 0.$$

因此，保守向量场都是无旋向量场。