散度

定义

散度（divergence）

向量场的散度是该点附近体积元内向量场流出量与体积元体积之比的极限，描述场的局部“源”或“汇”的强度。
散度可由向量微分算子表示为：

$$\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}.$$

二维

在二维情况下，设向量场 $\mathbf{F} = (P(x, y), Q(x, y))$，其散度为：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.$$

此结果可以看作三维散度的特例，即令 $\mathbf{F} = (P, Q, 0)$，则有：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.$$

这说明二维散度对应于三维散度在 $z=0$ 平面上的投影

三维

在三维空间中，向量场 $\mathbf{F} = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z))$ 的散度定义为：

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.$$

散度为标量场，其正负表示该点为“源”（流出）或“汇”（流入）。

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应用

• 物理意义：在流体力学中，散度描述流体的压缩或膨胀程度。若 $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$，则称该流体为不可压缩流。
• 数学性质：散度与旋度满足恒等式 $\nabla \times (\nabla \phi) = 0$，并出现在高斯散度定理中：

  $$\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}.$$