本文分为三部分

• 无穷小
• 无穷大
• 主部

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无穷小

简介

无穷小是极限理论的核心概念，在微积分、渐近分析中用于描述趋近于零的变化量。

定义

形式化定义

在自变量的某个变化过程（如 $x \to x_0$ 或 $x \to \infty$）中：

• 若 $\lim \alpha(x) = 0$，则称 $\alpha(x)$ 为该过程中的无穷小量
• 特别地，零函数是永恒的无穷小

示例：

• $x$ 当 $x \to 0$ 时
• $\sin x$ 当 $x \to 0$ 时
• $e^{-x}$ 当 $x \to +\infty$ 时

基本定理

函数极限的分解定理

函数 $f(x)$ 在变化过程中有极限 $A$ $\iff$ $f(x) = A + \alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 是同一过程中的无穷小

证明： ($\Rightarrow$) 由极限定义，$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$ 使得 $|f(x)-A|<\varepsilon$，令 $\alpha(x)=f(x)-A$ 即得
($\Leftarrow$) 显然 $|f(x)-A|=|\alpha(x)| \to 0$

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无穷大

简介

描述函数在局部或全局范围内无界增长的趋势，与无穷小构成对偶关系。

定义

形式化定义

在自变量的某个变化过程中：

• 若 $\forall M>0,\exists \delta>0$ 使得 $0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)|>M$，则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量
• 记作 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$

示例：

• $\dfrac{1}{x}$ 当 $x \to 0$ 时
• $\ln x$ 当 $x \to 0^+$ 时
• $e^x$ 当 $x \to +\infty$ 时

对偶定理

倒数关系

在自变量的同一变化过程中：

$$\lim f(x) = \infty \iff \lim \dfrac{1}{f(x)} = 0$$

即无穷大与无穷小互为倒数关系

应用：

• 处理 $\infty \cdot 0$ 型未定式时可转化为 $\dfrac{0}{1/\infty}$

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主部

简介

在渐近分析中，主部用于刻画无穷小/无穷大的主要贡献成分。

定义

主部定义

设 $\alpha,\beta$ 是同一过程中的无穷小：

• 若 $\beta = k\alpha + o(\alpha)$，其中 $k \neq 0$ 为常数
• 则称 $k\alpha$ 是 $\beta$ 的主部，$\alpha$ 称为基准无穷小

示例：

• 当 $x \to 0$ 时，$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，主部为 $x$
• 当 $x \to +\infty$ 时，$x^2 + 3x \sim x^2$，主部为 $x^2$

比较原理

通过无穷小的比较确定主部：

1. 高阶无穷小：$\beta = o(\alpha)$
2. 同阶无穷小：$\lim \dfrac{\beta}{\alpha} = k \neq 0$
3. 等价无穷小：$\beta \sim \alpha$（即 $k=1$）

主部提取步骤

1. 确定基准无穷小 $\alpha$
2. 展开 $\beta$ 为 $\alpha$ 的多项式
3. 保留最低阶非零项作为主部