极限运算法则

简介

极限运算属于线性泛函，所以极限的运算满足可加性和齐次性，因此可以推导出无穷小之间的运算关系。

线性泛函

在这之前提到过： 极限 因此，极限运算的性质应该从泛函的角度来分析。

极限运算的线性性

极限运算满足以下两条性质：

1. 可加性：

   $$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$

2. 齐次：

   $$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$$

这两条性质合起来称为线性性，即极限运算是一个线性泛函。

极限运算的数学表述

极限的线性性

设 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，且 $c$ 为常数，则：

1. 可加性：

$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = A + B$$

2. 齐次性：

$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot A$$

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线性运算

设$\lim f(x)=A$, $\lim g(x)=B$存在，则：

1. 线性组合

   $$\lim [\alpha f+\beta g] = \alpha A + \beta B \quad (\alpha,\beta\in\mathbb{R})$$

2. 乘法法则

   $$\lim [f(x)\cdot g(x)] = A \cdot B$$

3. 除法法则（当$B \neq 0$时）

   $$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$

计算示例

$\lim_{x\to2}(3x^2-5) = 3(\lim x)^2 -5 = 3\cdot4-5=7$

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非线性运算

幂指函数

当$A>0$时：

$$\lim [f(x)]^{g(x)} = A^B$$

根式运算

$$\lim \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{A} \quad (n\in\mathbb{N}^+)$$

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复合运算

复合函数极限

若$f$在$u=A$连续：

$$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$$

不连续情形处理

当$f$在$u=A$不连续时，需用变量代换法： 令$u=g(x)$，转化为$\lim_{u\to A}f(u)$

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无穷小运算

设$\alpha(x),\beta(x)$为同一过程的无穷小：

运算类型	结果性质	示例
$\alpha \pm \beta$	保持无穷小	$x^2 \pm x^3$当$x\to0$
$\alpha\cdot\text{有界量}$	无穷小	$x\cdot\sin(1/x)$当$x\to0$
$\alpha=o(\beta)$	$\alpha+\beta \sim \beta$	$x^3+x \sim x$当$x\to0$

典型等价关系

当$x\to0$时：

$$\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad e^x-1 \sim x$$

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注意事项

1. 存在性前提

所有法则仅在各分量极限存在时适用：

$$\nexists \lim_{x\to0} \frac{\sin(1/x)}{1/x} \quad (\text{振荡无极限})$$

2. 极限交换条件

累次极限不可随意交换：

$$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 1 \neq \lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 0$$

3. 零分母处理

当$\lim g(x)=0$时：

• 若$\lim f(x)\neq0$，$\lim f/g$为无穷大
• 若$\lim f(x)=0$，需用洛必达法则或泰勒展开