本章分为三部分：

• 数列的极限
• 函数的极限
• 极限运算的本质

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数列的极限

简介

数列极限是分析学的基础概念，通过ε-N语言严格定义收敛性，为后续研究级数收敛、函数连续性奠定基础。

定义

ε-N定义

设数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $a$ 满足：

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^+,\ \text{当}\ n>N\ \text{时}\ |x_n-a|<\varepsilon$$

则称数列收敛于 $a$，记作 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$；否则称数列发散。

几何解释：在 $a$ 的任意ε邻域外只有有限项

性质

1. 唯一性定理

若数列收敛，则其极限唯一

2. 有界性定理

收敛数列必有界（但反之不成立，如 $\{(-1)^n\}$）

3. 保号性

若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a>0$，则 $\exists N,\ \forall n>N,\ x_n>\dfrac{a}{2}$

4. 子列收敛性

收敛数列的任意子列也收敛于同一极限

经典示例

证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$： 取 $N=\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \rfloor+1$，当 $n>N$ 时：

$$\left|\dfrac{1}{n}-0\right|=\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{N}<\varepsilon$$

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函数的极限

简介

描述函数在局部邻域或无穷远处的趋势特性，是建立导数和积分的核心工具。

定义

1. 自变量趋于有限值

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域$U^\circ(x_0,\delta)$ 有定义：

$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

2. 自变量趋于无穷

设 $f(x)$ 在 $|x|>M$ 时有定义：

$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ |x|>X \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$$

3. 邻域定义

• δ邻域：$U(x_0,\delta)=(x_0-\delta,x_0+\delta)$
• 去心邻域：$U^\circ(x_0,\delta)=U(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$

函数极限性质

若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$ 存在，则：

1. 唯一性：极限值唯一
2. 局部有界性：存在邻域 $U^\circ(a,\delta)$ 使 $f(x)$ 有界
3. 局部保号性：
   • 若 $A>0$，则 $\exists\delta>0,\ x\in U^\circ(a,\delta) \Rightarrow f(x)>\dfrac{A}{2}$
   • 若 $A<0$，则 $\exists\delta>0,\ x\in U^\circ(a,\delta) \Rightarrow f(x)<\dfrac{A}{2}$
4. Heine定理：对任意数列 $x_n\to a$ 且 $x_n\neq a$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$

计算示例

证明 $\lim\limits_{x\to2}(3x+1)=7$： 给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时：

$$|(3x+1)-7|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon$$

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极限运算的本质

极限运算的本质是一个线性泛函，它将函数 $f(x)$ 映射到一个实数极限值 $A$（当然也可以很轻易地扩展到复数）：

$$\lim_{x \to a} f(x) = A$$