分部积分循环公式

分部积分法的一种特殊技巧：当被积函数包含指数与三角函数乘积时，两次分部积分法后原积分重现，移项即可解出。

余弦-指数

$$\int e^{mt} \cos(nt) dt = e^{mt}\frac{m\cos(nt)+n\sin(nt)}{m^2 + {n^2}}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt} \\ & = \frac{1}{m} \int \cos(nt) d(e^{mt}) \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m}\int e^{mt} \sin(nt) dt \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m}\left(\frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m} \underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{mt} \cos(nt) dt = e^{mt}\frac{m\cos(nt)+n\sin(nt)}{m^2 + {n^2}}$$

正弦-指数

$$\int e^{mt} \sin(nt) dt = e^{mt}\frac{m \sin(nt) - n \cos(nt)}{m^2 + n^2}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt} \\ & = \frac{1}{m} \int \sin(nt) d(e^{mt}) \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m}\int e^{mt} \cos(nt) dt \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m}\left(\frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m} \underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{mt} \sin(nt) dt = e^{mt}\frac{m \sin(nt) - n \cos(nt)}{m^2 + n^2}$$

---