积分上限的函数及其导数

$f(x)$在区间$[a,b]$上连续, $x\in[a,b]$, 考虑如下定积分

$$\int_{a}^{x}f(x) \, dx$$

由于定积分与积分变量的记法无关, 但是积分上限却是被$x$决定的定值,所以

$$\int_{a}^{x}f(x) \, dx =\int _{a}^{x}f(t) \, dt$$

这个定积分是一个关于$x$的函数, 对于给定的$x$, 定积分的值也是一个确切的数

$$\Phi(x)=\int _{a}^{x}f(t) \, dt$$

这个积分上限函数的导数就是$f(x)$

$$\Phi'(x)=\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$$