第二类换元法的主要思路是将 $dx$ 换元后里面的内容提取到外面, 得到容易求得的积分后再将变量换回$x$.

设 $f(x)$ 为可积函数，$x = x(g)$ 为连续可导函数，则有：

Info

$$\int_\alpha^\beta f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))d(\phi(t)) = \int_{\phi^{-1}(\alpha)}^{\phi^{-1}(\beta)} f(\phi(t)) \phi\prime(t) dt$$

注意点

1. 三角函数
2. 反三角函数运算
3. 计算定积分时函数是否连续

经典类型

在遇到类似 $\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$ 和 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的式子时，通常采取分别令 $x = \pm a \sec t$、$x = \pm a \tan t$ 或 $x = \pm a \sin t$ 进行换元，得到关于 $t$ 的一个原函数。

1. $\sqrt{a^2-x^2}$

例1: $\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}dx, (a>0)$

$x \in[-a,a]$ 令 $x = \pm a \sin (t)$, 则 $dx=a\cos(t)dt$

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\int \sqrt{ a^{2}-a^{2}\sin^{2}(t) } d(a\sin(t))$$

$$=\int a\cos(t)\cdot a\cos(t) \, dt =a^{2}\left( \frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4} \right)$$

令$x = \pm a \cos (t)$, 也能解出

2. $\sqrt{x^2+a^2}$

例2: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx, (a>0)$

令 $x = \pm a \tan (t)$, $x \in[-\infty,\infty]$, $t \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

3. $\sqrt{x^2-a^2}$类

例3: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx, (a>0)$

令 $x = \pm a \sec (t)$, ${} x \in[a,\infty] {}$, $t \in(0,\frac{\pi}{2})$