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功率谱密度函数的获得

PaulSun数学

考虑宽平稳随机过程 X(t)X\left(t\right) 的 Fourier 展开

X(t)=12π∑k=−∞+∞(∫−T/2T/2X(s)exp⁡{−jωks} ds)exp⁡{jωkt}⋅2πTX\left(t\right)=\dfrac1{2\pi}\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(s\right)\exp\left\{-j\omega_ks\right\}\,\mathrm ds\right)\exp\left\{j\omega_kt\right\}\cdot\dfrac{2\pi}{T}

其中根据 Fourier 展开的要求，T→∞T\to\infty，但问题出现：

∫−∞+∞∣X(t)∣ dt<∞\int^{+\infty}_{-\infty}\left|X\left(t\right)\right|\,\mathrm dt<\infty

未必成立，即 Fourier 展开不一定存在。这宣告用 Fourier 展开对宽平稳随机过程进行谱分析的思路失败（这不意味着非宽平稳随机过程也不可以）。

功率谱密度函数的获得

为了避开如上所述的问题， Wiener 和 Khinchine 把将问题改为计算

SX(ω)=lim⁡T→∞1T E ∣∫−T/2T/2X(t)exp⁡{−jωt} dt∣2S_X\left(\omega\right)=\lim_{T\to\infty}\dfrac1T\,\mathrm E\,\left|\int^{T/2}_{-T/2}X\left(t\right)\exp\left\{-j\omega t\right\}\,\mathrm dt\right|^2

计算过程如下

  1T E(∫−T/2T/2X(t)exp⁡{−jωt} dt)(∫−T/2T/2X(s)exp⁡{−jωs} ds)‾=  1T∫−T/2T/2∫−T/2T/2E(X(t) X(s)‾)exp⁡{−jω(t−s)} dtds=  1T∬RX(u)exp⁡{−jωu} 12 dudv=  1T(∫−T0∫−u−Tu+T+∫0T∫u−T−u+T) RX(u)exp⁡{−jωu} 12 dvdu=  1T∫−TT∫∣u∣−T−∣u∣+TRX(u)exp⁡{−jωu} 12dvdu=  1T∫−TT(T−∣u∣) RX(u)exp⁡{−jωu} du=  ∫−TT(1−∣u∣T) RX(u)exp⁡{−jωu} du=  ∫−∞+∞RX(u)exp⁡{−jωu} du  (T→∞)\begin{aligned}&\;\dfrac1T\,\mathrm E\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(t\right)\exp\left\{-j\omega t\right\}\,\mathrm dt\right)\overline{\left(\int^{T/2}_{-T/2}X\left(s\right)\exp\left\{-j\omega s\right\}\,\mathrm ds\right)} \\\\ = & \;\dfrac1T\int^{T/2}_{-T/2}\int^{T/2}_{-T/2}\mathrm E\left(X\left(t\right)\,\overline{X\left(s\right)}\right)\exp\left\{-j\omega\left(t-s\right)\right\}\,\mathrm dt\mathrm ds \\\\ = & \;\dfrac1T\iint R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm du\mathrm dv \\\\ = & \;\dfrac1T\left(\int^0_{-T}\int^{u+T}_{-u-T}+\int^T_0\int^{-u+T}_{u-T}\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\,\mathrm dv\mathrm du \\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\int^{-\left|u\right|+T}_{\left|u\right|-T}R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\dfrac12\mathrm dv\mathrm du \\\\ = & \;\dfrac1T\int^T_{-T}\left(T-\left|u\right|\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \\\\ = & \;\int^T_{-T}\left(1-\dfrac{\left|u\right|}T\right)\,R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \\\\ = & \;\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(u\right)\exp\left\{-j\omega u\right\}\,\mathrm du \ \ \left(T\to\infty\right) \end{aligned}

虽然我们不能找到随机过程的 Fourier 变换，但最后结果暗示找到了随机过程的相关函数的 Fourier 变换，即前文定义的新函数 SX(ω)S_X\left(\omega\right)

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ)exp⁡{−jωτ} dτRX(τ)=12π∫−∞+∞SX(ω)exp⁡{−jωτ} dω(1)\begin{aligned} & S_X\left(\omega\right)=\int^{+\infty}_{-\infty} R_X\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & R_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\omega \end{aligned}\tag1

称 SX(ω)S_X\left(\omega\right) 为功率谱密度。Bochner 定理是指：一个函数是正定函数，当且仅当它的 Fourier 变换对子恒为正数。从功率谱密度函数不难看出其恒正，那么相关函数是正定函数。

Wiener-Khinchine 定理

任意一个宽平稳随机过程的功率谱密度是其相关函数的 Fourier 变换。

性质

性质 1

从 (1) 可知

∫−∞+∞SX(ω) dω=2πRX(0)=2πE(X2(t))\int^{+\infty}_{-\infty} S_X\left(\omega\right)\,\mathrm d\omega =2\pi R_X\left(0\right)=2\pi\mathrm E\left(X^2\left(t\right)\right)

性质 2

考察功率谱密度函数是否具有线性性。假设假设 α∈R\alpha\in\mathbb R

SαX(ω)=∫−∞+∞RαX(τ)exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞RαX(αX(t),αX(s))exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞E(αX(t),αX(s))exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞∣α∣2 E(X(t),X(s))exp⁡{−jωτ} dτ=∫−∞+∞∣α∣2 RX(τ)exp⁡{−jωτ} dτ=∣α∣2 SX(ω)\begin{aligned} S_{\alpha X}\left(\omega\right) & = \int^{+\infty}_{-\infty} R_{\alpha X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} R_{\alpha X}\left(\alpha X\left(t\right),\alpha X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \mathrm E\left(\alpha X\left(t\right),\alpha X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,\mathrm E\left(X\left(t\right),X\left(s\right)\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \int^{+\infty}_{-\infty} \left|\alpha\right|^2\,R_{X}\left(\tau\right)\exp\left\{-j\omega \tau\right\}\,\mathrm d\tau \\\\ & = \left|\alpha\right|^2\,S_X\left(\omega\right) \end{aligned}

结果不满足 SαX(ω)=αSX(ω)S_{\alpha X}\left(\omega\right)=\alpha S_X\left(\omega\right)，所以功率谱密度没有线性性。

性质 3

对功率谱密度的 Fourier 变换表达式使用欧拉公式

SX(ω)=∫−∞+∞RX(τ) cos⁡(−ωτ) dτ+j∫−∞+∞RX(τ) sin⁡(−ωτ) dτ=∫−∞+∞RX(τ) cos⁡(ωτ) dτ+0=SX(−ω)\begin{aligned}S_X\left(\omega\right) & =\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+j\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\sin\left(-\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau\\\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}R_X\left(\tau\right)\,\cos\left(\omega \tau\right)\,\mathrm d\tau+0=S_X\left(-\omega\right)\end{aligned}

可见功率谱密度函数是偶函数。并且在该推导基础上，相关函数的 Fourier 变换表达式简化为

RX(τ)=12π∫−∞+∞SX(ω) cos⁡(ωτ) dωR_X\left(\tau\right)=\dfrac1{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}S_X\left(\omega\right)\,\cos\left(\omega\tau\right)\,\mathrm d\omega

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