平稳随机过程的概念

PaulSun

如果随机过程的某一种性质不随下角标（时间）变化而变化，则称随机过程具有该性质的平稳性。

众多平稳性是根据相关函数来建立的，所以有必要先介绍相关函数的定义。

定义 - 宽平稳

随机过程 $X\left(t\right)$ 是宽平稳的，如果对于任意时刻 $t$ 和 $s$ ，以及任意时长 $T$ ，有

R\left(t+T,s+T\right)=R\left(t,s\right)

宽平稳是相关函数具有稳定性的平稳，它是随机过程中最重要的平稳性，是研究出发的基石。根据宽平稳的定义，其暗示我们：随机过程中两个时刻随机变量的相关性只依赖于时刻的相对位置，从此衍生第二种定义

R\left(t,s\right)=R\left(t-s\right)=:R\left(\tau\right)

通常在证明一个随机过程具有宽平稳性质时，目标就是得到第二种定义的表达式。以下用 “相位调频” 为例，说明在证明中如何得到 $R\left(t-s\right)$ 。

假设随机过程 $X\left(t\right)=\cos\left(2\pi f_0t+\theta\right)$ ，其中 $\theta\sim U\left(0,2\pi\right)$ 。计算一阶矩

\mathrm E\left(X\left(t\right)\right)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi f_0t+\theta\right)\,\mathrm d\theta=0

计算相关函数

\begin{aligned}R\left(t,s\right)&=\mathrm E\left(X\left(t\right)\,X\left(s\right)\right)=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi\,f_0t+\theta\right)\,\cos\left(2\pi f_0s+\theta\right)\,\mathrm d\theta \\\\ & =\dfrac1{4\pi}\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos\left(2\pi f_0\left(t+s\right)+2\theta\right)+\cos\left(2\pi f_0\left(t-s\right)\right)\,\mathrm d\theta \\\\ & = \dfrac12\cos\left(2\pi f_0\left(t-s\right)\right)=R\left(t-s\right) \end{aligned}

定义 - 严平稳

随机过程 $X\left(t\right)$ 是严平稳的，如果对于任意时刻 $t_1,t_2,\dots,t_n$ 及所有时间长 $T$ ，以下两个随机向量服从相同联合分布

\begin{array}c\left[X\left(t_1\right),X\left(t_2\right),\dots,X\left(t_n\right)\right]^T\\\\\left[X\left(t_1+T\right),X\left(t_2+T\right),\dots,X\left(t_n+T\right)\right]^T\end{array}

显然，独立同分布的随机过程是宽平稳的。因为这个性质太严格，所以在研究中较少用到。

定义 - 循环平稳

随机过程 $X\left(t\right)$ 是循环平稳的，如果对于任意时刻 $t$ 和 $s$ ，存在时长 $T$ ，有

R\left(t+T,s+T\right)=R\left(t,s\right)

如果说宽平稳的相关函数像一条平稳的线，那么循环平稳的相关函数则像正弦函数上下波动。考虑有没有什么办法让正弦函数被压成一条线呢？从技术上是有的，可以加入一个与之对冲的随机变量，把循环平稳随机过程处理成宽平稳随机过程，这是常见的手法。

定义 - 增量平稳

随机过程 $X\left(t\right)$ 是增量平稳的，如果增量服从时间差的分布函数，即

X\left(t\right)-X\left(s\right)\sim F\left(t-s\right)

常见的增量平稳过程有布朗运动

B\left(t\right)-B\left(s\right)\sim \mathrm{N}\left(t-s\right)

和泊松过程

N\left(t\right)-N\left(s\right)\sim\mathrm{Poisson}\left(t-s\right)

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