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基本性质

PaulSun数学

相关函数我们主要研究的是宽平稳随机过程的相关函数，即能被记作 R(t−s)R\left(t-s\right) 或 R(τ)R\left(\tau\right) 的相关函数，这样的相关函数具有五条基本性质和正定性。

基本性质

相关函数的五条基本性质

  1. R(0)≥0R\left(0\right)\ge0，即 R(t,t)≥0R\left(t,t\right)\ge0
  2. R(τ)=R(−τ)R\left(\tau\right)=R\left(-\tau\right)，即 R(t,s)=R(s,t)R\left(t,s\right)=R\left(s,t\right)
  3. ∣R(τ)∣≤R(0)\left|R\left(\tau\right)\right|\le R\left(0\right)
  4. 存在 τ\tau，使得 R(τ)=R(0)R\left(\tau\right)=R\left(0\right)，那么对于任意 tt，R(t+τ)=R(t)R\left(t+\tau\right)=R\left(t\right)
  5. 如果 R(τ)R\left(\tau\right) 在 τ=0\tau=0 连续，那么 R(τ)R\left(\tau\right) 在定义域内连续

前两条性质是符合直觉的基础性质。性质 3 说明 τ=0\tau=0 处相关函数取得全局最大值，在邻域 B(0,δ)B\left(0,\delta\right) 内，相关函数先增后减。但相关函数在定义域内并非一定先增后减，例如 (δ,+∞)\left(\delta,+\infty\right) 内可以为非单调函数。如果在 (δ,+∞)\left(\delta,+\infty\right) 的子区间内相关函数递增，且函数值达到 R(0)R\left(0\right)，那么相关函数一定是周期函数，这由性质 4 保证。

证明 - 性质 3

根据 Cauchy-Schwarz 不等式有

∣R(τ)∣=∣E(X(t) X(t+τ))∣≤(EX2(t) EX2(t+τ))1/2\left| R\left( \tau \right) \right|=\left| \mathrm{E}\left( X\left( t \right) \,X\left( t+\tau \right) \right) \right|\le \left( \mathrm{E}X^2\left( t \right) \,\mathrm{E}X^2\left( t+\tau \right) \right) ^{1/2}

其中

EX2(t)=E(X(t) X(t))=R(t,t)=R(0)EX2(t+τ)=E(X(t+τ) X(t+τ))=R(0)\begin{aligned}&\mathrm EX^2\left(t\right)=\mathrm E\left(X\left(t\right)\,X\left(t\right)\right)=R\left(t,t\right)=R\left(0\right)\\\\&\mathrm EX^2\left(t+\tau\right)=\mathrm E\left(X\left(t+\tau\right)\,X\left(t+\tau\right)\right)=R\left(0\right)\end{aligned}

因此

∣R(τ)∣≤(EX2(t) EX2(t+τ))1/2=(R2(0))1/2=R(0)\left| R\left( \tau \right) \right|\le \left( \mathrm{E}X^2\left( t \right) \,\mathrm{E}X^2\left( t+\tau \right) \right) ^{1/2}=\left(R^2\left(0\right)\right)^{1/2}=R\left(0\right)

证明 - 性质 4

考虑一个新式子

E ∣X(t)−X(t+τ)∣2=E(X2(t)+X2(t+τ)−2X(t) X(t+τ))=R(0)+R(0)−2R(τ)=0\begin{aligned} \mathrm E\,\left|X\left(t\right)-X\left(t+\tau\right)\right|^2 & = \mathrm E\left(X^2\left(t\right)+X^2\left(t+\tau\right)-2X\left(t\right)\,X\left(t+\tau\right)\right) \\\\ & = R\left(0\right)+R\left(0\right)-2R\left(\tau\right)=0 \end{aligned}

其中使用了 R(τ)=R(0)R\left(\tau\right)=R\left(0\right) 的条件

∣R(t)−R(t+τ)∣=∣E(X(0) X(t))−E(X(0) X(t+τ))∣=∣E(X(0)(X(t)−X(t+τ)))∣≤(E(X2(0)) E(X(t)−X(t+τ))2)1/2\begin{aligned} \left| R\left( t \right) -R\left( t+\tau \right) \right|&=\left| \mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \,X\left( t \right) \right) -\mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \,X\left( t+\tau \right) \right) \right|\\\\ &=\left| \mathrm{E}\left( X\left( 0 \right) \left( X\left( t \right) -X\left( t+\tau \right) \right) \right) \right|\\\\ &\le \left( \mathrm{E}\left( X^2\left( 0 \right) \right) \,{\mathrm{E}\left( X\left( t \right) -X\left( t+\tau \right) \right) }^2 \right) ^{1/2} \end{aligned}

因此 0≤∣R(t)−R(t+τ)∣≤00\le\left| R\left( t \right) -R\left( t+\tau \right) \right|\le0，R(t)=R(t+τ)R\left(t\right)=R\left(t+\tau\right) 得证。

证明 - 性质 5

当 τ→0\tau\to0 时

E ∣X(t)−X(t+τ)∣2=R(0)+R(0)−2R(τ)→0\mathrm E\,\left|X\left(t\right)-X\left(t+\tau\right)\right|^2= R\left(0\right)+R\left(0\right)-2R\left(\tau\right)\to0

后续证明同性质 (4) 的证明，此处省略。

正定性

一个函数是正定函数，如果如下形式的矩阵是正定函数

A=(f(ti−tj))ij=[f(0)⋯f(t1−tj)⋯f(t1−tn)⋮⋮⋮f(ti−t1)⋯f(ti−tj)⋯f(ti−tn)⋮⋮⋮f(tn−t1)⋯f(tn−tj)⋯f(0)]n×nA=\left(f\left(t_i-t_j\right)\right)_{ij}=\left[ \begin{matrix} f\left( 0 \right)& \cdots& f\left( t_1-t_j \right)& \cdots& f\left( t_1-t_n \right)\\\\ \vdots& & \vdots& & \vdots\\\\ f\left( t_i-t_1 \right)& \cdots& f\left( t_i-t_j \right)& \cdots& f\left( t_i-t_n \right)\\\\ \vdots& & \vdots& & \vdots\\\\ f\left( t_n-t_1 \right)& \cdots& f\left( t_n-t_j \right)& \cdots& f\left( 0 \right)\\ \end{matrix} \right] _{n\times n}

考察宽平稳随机过程的相关函数的正定性，引入向量记号 X=(X(t1),…,X(tn))TX=\left(X\left(t_1\right),\dots,X\left(t_n\right)\right)^T，那么

(R(ti−tj))ij=(EX(ti) EX(tj))ij=E(XXT)=R\left(R\left(t_i-t_j\right)\right)_{ij}=\left(\mathrm EX\left(t_i\right)\,\mathrm EX\left(t_j\right)\right)_{ij}=\mathrm E\left(XX^T\right)=R

对于 ∀ α∈Rn\forall\,\alpha\in\mathbb R^n，有

αTR α=αT E(XXT) α=E(αTX⋅(αTX)T)=∥αTX∥2≥0\alpha^TR\,\alpha=\alpha^T\,\mathrm E\left(XX^T\right)\,\alpha=\mathrm E\left(\alpha^TX\cdot\left(\alpha ^TX\right)^T\right)=\big\|\alpha^TX\big\|^2\ge0

宽平稳随机过程的相关函数通过了正定性的验证。

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