二次型

背景

在解析几何中,为了便于研究二次曲线

$$ax^2+bxy+cy^2=1$$

的几何性质,可以选择适合的旋转变换

$$\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta \end{cases}\\$$

把方程化为[标准型]

$$mx'^2+ny'^2=1$$

这一过程本质是通过基变换将二次型的对称矩阵对角化，标准型系数对应矩阵的特征值。将这类问题一般化, 即为二次型.

定义

定义

二次型是二次齐次函数，形如：

$$Q(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$$

其中：

• $\vec{x}$ 是$n$维列向量
• $A$ 是唯一确定的$n \times n$对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$）
• 交叉项$x_i x_j$的系数对应$2a_{ij}$（当$i \neq j$时）

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计算

构造二次型矩阵的通用方法：

1. 平方项系数直接作为对角元素
2. 交叉项系数平分到对称位置
   例如：

$$ax^2 + 2bxy + cy^2 \Rightarrow A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$

$$3x_1^2 + 4x_1x_2 - x_2^2 \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$$

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示例

完整示例：

$$Q(x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

通过正交变换可对角化为：

$$Q(y) = 2y_1^2 + (3+\sqrt{2})y_2^2$$

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补充

1. 合同对角化：存在可逆矩阵$P$使$P^TAP$为对角阵
2. 惯性定理：标准型中正/负系数的个数（正负惯性指数）在实数域下保持不变
3. 几何意义：二次型对应二次曲面的主轴方向由特征向量确定

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应用

1. 优化理论：在二次规划问题中，目标函数通常是一个二次型。
2. 统计学：在多元统计分析中，二次型用于构建某些统计量，如马氏距离。
3. 机械工程：在结构分析和动力学中，二次型用于描述能量和稳定性。