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对于一个给定的方阵 $A$，它的特征向量 $v$ 经过这个矩阵的线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 $v$ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。

$$Av=\lambda v$$

其中 $\lambda$ 为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 $\lambda$ 为其特征值（eigenvalue，也译固有值、本征值）。

• 如果特征值为正，则表示 $v$ 在经过线性变换的作用后方向也不变；
• 如果特征值为负，说明方向会反转；
• 如果特征值为0，则是表示缩回零点。 但无论怎样，仍在同一条直线上。

计算

对于每一个特征值 $\lambda_i$，需要求解线性方程组 $(A - \lambda_i I)v = 0$，即通过求解同质线性方程组来找到特征向量。

求解矩阵方程 $(A - \lambda_i I)v = 0$ 的主要步骤是化简矩阵并解出方程组。

高斯消元法

化简规则

初等行变换

变换后写回方程组形式