坐标

Introduction

在线性代数里，坐标是向量相对于一组基的表示系数。

Definition

设 $V$ 是一个向量空间，$B=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ 是 $V$ 的一组基。若向量 $v\in V$ 可以唯一写成

$$v=x_1e_1+x_2e_2+\cdots+x_ne_n,$$

则称 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 为向量 $v$ 在基 $B$ 下的坐标。

Properties

• 依赖于基：同一个向量在不同基下的坐标一般不同。
• 唯一性：一旦基固定，向量的坐标表示是唯一的。

Examples

• 在标准基下，$\mathbb{R}^2$ 中向量 $v=(x,y)^T$ 的坐标就是 $(x,y)$。
• 若 $B=\{e_1,e_2\}$ 不是标准基，则同一个向量在基 $B$ 下的坐标一般会不同。

Applications

坐标在物理学、工程学和计算机科学中广泛应用；在线性代数中，它使抽象向量可以转化为数值列向量，从而便于计算。