加法封闭性

简介

加法封闭性是抽象代数中的基础概念，描述集合在加法运算下的内在稳定性，是研究群、环、域等代数结构的核心条件。

定义

加法封闭性

设非空集合 $S$ 配备加法运算 $+$，若满足：

$$\forall a,b \in S,\ a+b \in S$$

则称 $S$ 对加法封闭，或称 $S$ 具有加法封闭性。

示例

1. 整数集 $\mathbb{Z}$ 对加法封闭。
2. 偶数集 $\{2k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 对加法封闭。
3. 奇数集 $\{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 对加法不封闭（两个奇数相加为偶数）。

应用

1. 群论：加法封闭性是阿贝尔群的必要条件。
2. 环论：加法封闭性是环定义的基础。
3. 线性代数：向量空间对加法封闭是线性空间的核心性质。