同态

设集合 $X$、$Y$ 各配备一个二元运算（$X$ 上的运算为 $\cdot$，$Y$ 上的运算为 $\circ$；这样的代数结构称为原群），同态就是映射 $\phi:X\to Y$，使得

$$\phi(u\cdot v)=\phi(u)\circ \phi(v)$$

同态"保持运算结构"，是把一个代数结构搬到另一个中且不破坏其法则的映射，是抽象代数中最核心的映射概念。需先掌握群与二元运算。

同构

若 $\phi$ 是双射，则称 $\phi$ 为同构，$X$ 与 $Y$ 同构（记 $X\cong Y$）。同构的代数结构本质相同，抽象代数只关心同构类。

核与像

• 像 $\operatorname{im}\phi=\{\phi(x):x\in X\}$。
• 核 $\ker\phi=\{x\in X:\phi(x)=e_Y\}$。
• 群同态的核是正规子群，像是子群；$\phi$ 单射 $\Leftrightarrow\ker\phi=\{e\}$。
• 同态基本定理：$X/\ker\phi\cong\operatorname{im}\phi$（见同态基本定理）。

示例

• $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$，$k\mapsto k\bmod n$ 是满同态，核为 $n\mathbb{Z}$。
• 行列式 $\det:GL(n,\mathbb{R})\to\mathbb{R}^\times$ 是同态，核为 $SL(n,\mathbb{R})$。
• $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$，$k\mapsto2k$ 是单同态，像为偶整数。