群

群是代数结构中最基本的一种：一个集合配备一个二元运算，满足结合律、单位元与逆元公理。它是刻画对称性的代数工具，需先掌握代数结构。

很多自然界的变换（如平移、镜射、旋转）的汇总都符合群的定义，而某群变换下保持不变的某种性质被称为对称性；如在空间对称群的哪些变换下，面积或角度会保持不变，就是在研究立体几何的对称性。对称群与置换群给出群最自然的来源。

定义

非空集合 $G$ 配上二元运算 $\cdot$ 构成群，若满足四条公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）：

$$(1)\ \ a\cdot b\in G;\qquad (2)\ \ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$$

$$(3)\ \ \exists\,e,\ e\cdot a=a\cdot e=a;\qquad (4)\ \ \forall a,\ \exists a^{-1},\ a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$$

基本性质

• 单位元与每个元素的逆元唯一；$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$（"先穿后脱"）。
• 消去律：$ab=ac\Rightarrow b=c$。
• 元素 $a$ 的阶 $\operatorname{ord}(a)$ 是使 $a^n=e$ 的最小正整数（不存在则为无穷）；有限群中元素的阶整除 $|G|$（拉格朗日定理）。

例子

• 加法群 $(\mathbb{Z},+)$、$(\mathbb{Z}_n,+)$ 与乘法群 $(\mathbb{Q}^\times,\cdot)$ 是交换群（阿贝尔群）。
• $n$ 元对称群 $S_n$（见对称群与置换群）、一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 是非交换群的典型例子。
• 正 $n$ 边形的对称群（二面体群 $D_n$）直接对应几何对称。

群结构保持映射由同态刻画；具有连续结构的对称群即李群。