核心思想

$L_p$ 范数度量了向量的“长度”，其不同取值对应不同的几何度量方式：从菱形到圆形，再到方形。

内容大纲

1. 定义：$L_p$ 范数的一般形式
2. 例：$L_1$（曼哈顿距离），$L_2$（欧几里得距离），$L_\infty$（切比雪夫距离）
3. 几何解释与单位球图形
4. 范数性质（正定性、齐次性、三角不等式）
5. 拓展：函数空间中的 $L_p$ 范数

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• 对于初学者，$L_p$ 范数首先出现在“内积空间”“度量空间”的上下文中。
• 这里可以从向量长度的推广出发讲清：

$$|x|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{1/p}$$

• $(p=1,2,\infty)$ 对应曼哈顿距离、欧几里得距离、切比雪夫距离。
• 用二维或三维可视化（菱形、圆形、方形单位球）效果极好。

典型内容结构：

1. 范数的定义与性质
2. $(L_1, L_2, L_\infty)$ 示例与几何解释
3. 距离函数与度量空间
4. 向量空间中的常用范数比较
5. 延伸：从有限维到函数空间

适合写法：强调几何意义，配图（$L_p$-球形状变化）或TikZ绘制。