向量微分算子恒等式

定义

向量微分算子的基本恒等式

在连续可微的场中，梯度、旋度、散度之间满足以下恒等关系：

$$\nabla \times (\nabla \phi) = 0, \qquad \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0.$$

它们表明：

• 任何梯度场的旋度恒为零；
• 任何旋度场的散度恒为零。

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推导

这些恒等式的成立依赖于混合偏导的可交换性。
设标量场 $\phi(x, y, z)$ 二次可微，则：

$$\nabla \times \nabla \phi = \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}, \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z}, \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} \right) = 0.$$

类似地，对任意向量场 $\mathbf{F}$：

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) = 0.$$

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几何与物理意义

1. 梯度场无旋：
   $\nabla \times (\nabla \phi) = 0$ 表示梯度场中没有局部旋转。
   势能场、电势场、重力场等都是这种“无旋场”。
2. 旋度场无源：
   $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ 表示旋度产生的场没有“体源”。
   在电磁学中，对应于麦克斯韦方程中的 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$。

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深层结构：外微分与 $d^2 = 0$

从微分形式的角度，上述两式是外微分算子的代数性质：

$$d^2 = 0.$$

在三维空间中：

• 标量场 $\phi$ 可视为 0-形式；
• 其梯度 $\nabla \phi$ 对应 1-形式 $d\phi$；
• 旋度 $\nabla \times$ 对应外微分 $d$ 作用于 1-形式；
• 散度 $\nabla \cdot$ 对应 $d$ 作用于 2-形式的 Hodge 对偶。
  因此：

$$\nabla \times (\nabla \phi) = 0 \quad \leftrightarrow \quad d(d\phi) = 0,$$

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 \quad \leftrightarrow \quad d(d\omega) = 0.$$

换句话说——边界的边界为零。
这是从欧几里得空间到微分几何、拓扑学都成立的普遍事实。

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备注

• 这些恒等式是斯托克斯定理与高斯定理的微分形式本质。
• 它们揭示了向量算子之间的层级结构：

  $$\text{梯度} \;\Rightarrow\; \text{旋度} \;\Rightarrow\; \text{散度} \;\Rightarrow\; 0,$$

  表明从标量场到向量场再到标量场的连续映射中，每一层的结果都是前一层的“边界”，而边界的边界总为空。