函数

定义

设数集$D \in R$,则称映射$f:D \to R$为定义在$D$上的函数, 记为$y=f(x),x \in D$

函数值$f(x)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域 函数的定义中允许多$x$对一$y$, 不允许一$x$对多y, 这种关系称为函数关系 比函数关系更广泛的概念称为 [(关系)]

Example

关系(Relation): $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 函数关系(Functional Relation): $y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ 直线: $y=2$ 绝对值函数: $y=|x|$ 符号函数: $y=sgn(x)$ 取整函数: $y=[x]$ 分段函数: 上面几种都是 通常可以用几个式子来表示一个函数, 比如玻意耳定律和范德瓦尔斯方程

$$p=\Bigg\{^{\frac{\gamma}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^{2}},(\beta<V<V_{0})}_{\dfrac{k}{V},(V\geq V_{0})}$$

简介

函数是数学分析的核心对象，描述两个数集间的确定性对应关系。作为映射在实数域上的特例，函数在微积分、微分方程等领域具有基础性地位。

定义

形式化定义

设非空数集 $D \subseteq \mathbb{R}$，若存在对应法则 $f$ 使得：

$$\forall x \in D,\ \exists! y \in \mathbb{R}\ \text{满足}\ y = f(x)$$

则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，记作：

$$f:D \to \mathbb{R},\quad x \mapsto y$$

三要素：

1. 定义域（Domain）：自变量 $x$ 的取值范围 $D$
2. 对应法则（Mapping Rule）：确定 $y$ 值的计算规则 $f$
3. 值域（Range）：$R_f = \{f(x) \mid x \in D\}$

与关系区别

函数要求唯一性：每个 $x$ 对应唯一 $y$
而关系允许一对多，如圆方程 $x^2+y^2=R^2$ 是关系但不是函数

函数表示

解析表示法

• 显函数：$y = \sqrt{R^2 - x^2}$
• 隐函数：$F(x,y) = 0$
• 参数方程：$\begin{cases}x = \cos t \\ y = \sin t\end{cases}$

特殊函数类型

函数类型	表达式	图形特征
绝对值函数	$y =x$	V型折线
符号函数	$\mathrm{sgn}(x)$	三段阶梯
取整函数	$y = [x]$	阶梯状间断
分段函数	见右例	多段式组合

分段函数示例（范德瓦尔斯方程）：

$$p(V) = \begin{cases} \dfrac{\gamma}{V-\beta} - \dfrac{\alpha}{V^2}, & \beta < V < V_0 \\ \dfrac{k}{V}, & V \geq V_0 \end{cases}$$

基本特性

1. 有界性
   $\exists M >0,\ \forall x \in D,\ |f(x)| \leq M$
2. 单调性
   在区间 $I \subseteq D$ 上：
   • 严格递增：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
   • 严格递减：$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
3. 对称性
   • 偶函数：$f(-x) = f(x)$
   • 奇函数：$f(-x) = -f(x)$
4. 周期性
   $\exists T >0,\ \forall x \in D,\ f(x+T) = f(x)$
5. 连续性
   $\forall x_0 \in D,\ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

函数构造

定义域确定原则

1. 分式函数：分母 $\neq 0$ ：$f(x)=\dfrac{1}{x^2-4} \Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$
2. 偶次根式：被开方数 $\geq 0$ ：$f(x)=\sqrt{4-x^2} \Rightarrow D=[-2,2]$
3. 对数函数：真数 $>0$ ：$f(x)=\ln(x+3) \Rightarrow D=(-3,+\infty)$
4. 反三角函数：
   • $\arcsin x$：$x \in [-1,1]$
   • $\arccos x$：$x \in [-1,1]$

函数等价判定

两函数 $f,g$ 相等的充要条件：

1. 定义域相同：$D_f = D_g$
2. 对应法则一致：$\forall x \in D_f,\ f(x) = g(x)$

常见错误

以下函数看似不同实则等价：

• $f(x) = \ln(x^2)$ 与 $g(x) = 2\ln|x|$（定义域均为 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$）
• $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ 与 $g(x)=x+1$（$D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}$，$D_g=\mathbb{R}$）