映射

简介

在集合论中，映射（或称函数）是描述两个集合间元素对应关系的核心概念。它是现代数学语言的基础构件，广泛应用于关系代数、拓扑学和范畴论等领域。

定义

形式化定义

给定非空集合$A,B$，称对应法则$f$为从$A$到$B$的映射，记作$f:A \to B$，当且仅当：

1. 全域性：$\forall a \in A,\ \exists b \in B$ 使得$f(a)=b$
2. 唯一性：若$a_1=a_2$，则$f(a_1)=f(a_2)$

术语解释：

• 定义域（Domain）：集合$A$
• 陪域（Codomain）：集合$B$
• 像（Image）：元素$b=f(a)$称为$a$的像
• 原像（Preimage）：满足$f(a)=b$的$a$称为$b$的原像
• 值域（Range）：实际像的集合$\{f(a)\ |\ a \in A\} \subseteq B$

分类

单射（Injective）

数学表述

$$\forall a_1,a_2 \in A,\ a_1 \neq a_2 \Rightarrow f(a_1) \neq f(a_2)$$

特征：不同输入产生不同输出
示例：

• $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(n)=2n$ 是单射
• $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ g(x)=x^2$ 不是单射（因$g(1)=g(-1)$）

满射（Surjective）

数学表述

$$\forall b \in B,\ \exists a \in A \text{ 使 } f(a)=b$$

特征：陪域被完全覆盖
示例：

• $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x)=x^3$ 是满射
• $g:\mathbb{Z} \to \mathbb{N},\ g(n)=|n|$ 不是满射（无法得到负数）

双射（Bijective）

复合要求：同时满足单射性和满射性
重要性：存在逆映射$f^{-1}:B \to A$
应用：在基数理论中证明集合等势

恒等映射

对任意集合$A$，定义：

$$\mathrm{id}_A: A \to A,\quad \mathrm{id}_A(a)=a$$

性质：

• 保持集合结构不变
• 是双射中最简单的形式

常见误区

• 并非所有自映射都是恒等映射
• 反例：$f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z},\ f(n)=n+1$ 是双射但不是恒等映射

基本定理

像集运算定理

设$f:A \to B$为映射，$X,Y \subseteq A$，则：

1. 并集保持性：

   $$f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)$$

2. 交集包含性：

   $$f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y)$$

证明：

1. 并集证明：

   • ($\subseteq$): 任取$b \in f(X \cup Y)$，存在$a \in X\cup Y$使$f(a)=b$。则$a$属于$X$或$Y$，故$b \in f(X)$或$f(Y)$
   • ($\supseteq$): 显然$f(X) \cup f(Y) \subseteq f(X \cup Y)$

2. 交集证明：

   • 任取$b \in f(X \cap Y)$，存在$a \in X\cap Y$使$f(a)=b$。此时$a$同时属于$X$和$Y$，故$b \in f(X)$且$b \in f(Y)$

严格包含情形

当$f$不是单射时，可能存在：

$$f(X \cap Y) \subsetneq f(X) \cap f(Y)$$

反例：设$f:\mathbb{Z} \to \{0\}$为常值映射，取$X=\{1\}, Y=\{2\}$，则左边$f(\emptyset)=\emptyset$，右边$\{0\} \cap \{0\} = \{0\}$

应用

1. 数据库理论

在关系数据库中，映射体现为表之间的外键约束，保证数据完整性

2. 密码学

双射性质是对称加密算法的核心要求，确保加密可逆

3. 函数式编程

纯函数的本质就是满足映射定义：相同输入必然得到相同输出