李群

简介

李群是一个群, 同时也是一个光滑流形, 是兼具群结构与流形结构的数学对象, 它描述了连续可微的对称变换, 是连接抽象代数与微分流形的一个重要例子

定义

李群 $G$ 是一个光滑流形, 并且群运算 $(x,y) \mapsto xy^{-1}$ 是光滑映射.
它结合了群的代数结构与流形的几何结构.

示例

$GL(n, ℝ)$: 所有可逆矩阵构成的李群.
$SO(n)$: 满足 $A^TA = I, \det A = 1$ 的矩阵群.
$SU(n)$: 满足 $U^\dagger U = I, \det U = 1$ 的矩阵群.

性质

李群的切空间在单位元处形成李代数.
光滑结构使得可以讨论"速度" "方向" 与"生成元" 等概念, 成为从代数到几何的桥梁.