线性差分方程的求解

递推关系的本质

递推关系描述一个数列中某一项与其前几项之间的关系。以常见的线性递推关系为例：

$$a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \cdots + c_k a_{n-k}$$

其中：

• $a_n$ 是第 $n$ 项的值，
• $c_1, c_2, \dots, c_k$ 是常数系数，
• $k$ 是递推关系的阶数。 这是线性差分方程的一种特殊形式，其解法类似于微分方程中的特征方程法。

求解

1. 假设特解形式：

假设数列的形式为 $a_n = r^n$，将其代入递推关系。这是因为指数形式的解在递归操作下保持自身结构（类似于微分方程中的指数函数）。

2. 构造特征方程：

代入 $a_n = r^n$ 后，将得到一个关于 $r$ 的代数方程，称为特征方程：

$$r^k - c_1 r^{k-1} - c_2 r^{k-2} - \cdots - c_k = 0$$

3. 求解特征根：

通过求解特征方程，得到 $k$ 个特征根 $r_1, r_2, \ldots, r_k$。

4. 写出通解：

通解为特征根的线性组合形式：

$$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n + \cdots + C_k r_k^n$$

5. 利用初始条件确定系数：

根据递推关系给出的初始值（如 $a_0, a_1, \ldots, a_{k-1}$），可以解出系数 $C_1, C_2, \ldots, C_k$。

性质

1. 实数与复数特征根： 复数根通常对应振荡行为。若特征方程的根为复数，共轭复数根对的虚部会在计算中互相抵消，使得结果为实数。
2. 特征根的重数：
   • 如果特征根存在重根（如 $r_1 = r_2$），通解中会包含项 $C_1 r^n + C_2 n r^n$，需要考虑多项式修正。

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应用

Fibonacci 数列： 递推关系：$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$。 斐波那契数列的矩阵形式 特征方程：$r^2 - r - 1 = 0$。 解为黄金分割比：$r_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, r_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$。 通解：

• $F_n = C_1 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + C_2 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$。

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示例

递推关系：

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + 2a_{n-3}$$

初始条件：

$$a_0 = 3, \; a_1 = 1, \; a_2 = 3$$

1. 写出特征方程：

$$r^3 - r^2 - r - 2 = 0$$

2. 求解特征方程：

$$r_1 = 2, \; r_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \; r_3 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

3. 构造通解：

$$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n + C_3 r_3^n$$

4. 代入初值求系数： 解得：

$$C_1 = 1, \; C_2 = 1, \; C_3 = 1$$

最终通项公式：

$$a_n = 2^n + \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^n + \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^n$$

六、为什么可以假设解的形式为 $r^n$？

• 线性递推关系的形式类似于线性微分方程，而微分方程的解通常具有指数形式。差分方程的解法与之类似，假设解为幂次形式是解决此类问题的标准方法。
• 特征方程的根表示系统的基本增长或衰减模式，幂次形式能够直接反映递推关系的内在结构。
• 实际上，这种方法广泛应用于物理、工程和数学中的振荡系统、Fibonacci 数列等。

七、总结

通过特征方程法，我们可以求解复杂的线性递推关系，避免了直接对矩阵进行对角化的繁琐步骤。这种方法既简洁又高效，适用于多种实际问题。