递推式矩阵的特征值分析

1. 特征值与递推关系的行为分类

矩阵的特征值决定了递推关系的长期行为，特征值的模（绝对值）和实部（若为复数）是关键因素。以下是不同特征值类型对应的递推关系行为分析。

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2. 特征值分类与行为分析

(1) 实数特征值

• $|\lambda| > 1$ —— 指数增长

  • 模大于 1 的特征值表示递推关系随时间呈指数增长。
  • 示例：斐波那契数列的主特征值 $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ 表示数列快速增长。

• $0 < |\lambda| < 1$ —— 指数衰减

  • 模小于 1 的特征值表示递推关系的项逐渐减小，最终趋于 0。
  • 示例：$a_n = 0.5^n$ 表示逐步衰减。

• $|\lambda| = 1$ —— 线性增长或稳定

  • 模等于 1 表示数列的增长速度保持稳定。
  • $\lambda = 1$ 表示递推关系最终趋于常数，$\lambda = -1$ 表示数列在正负之间振荡但不发散。
  • 示例：$a_n = (-1)^n$ 表示交替振荡但不发散。

• $\lambda = 0$ —— 完全衰减

  • 表示递推关系直接收敛到 0，所有后续项均为 0。

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(2) 复数特征值

• $|\lambda| > 1$ —— 指数振荡增长

  • 复数特征值的模大于 1 时，表示递推关系呈现振荡增长行为。
  • 示例：

    $$a_n = C_1 (r e^{i \theta})^n + C_2 (r e^{-i \theta})^n$$

    其中 $r > 1$ 且 $\theta \neq 0$，表示增长的同时振荡。

• $0 < |\lambda| < 1$ —— 指数振荡衰减

  • 模小于 1 的复数特征值表示递推关系呈现振荡但逐渐收敛。
  • 示例：

    $$a_n = 0.8^n \cos( \theta n)$$

    振荡幅度逐渐减小，最终收敛于 0。

• $|\lambda| = 1$ —— 持续振荡

  • 表示数列持续振荡但振幅不变。
  • 示例：

    $$a_n = e^{i n \pi} = (-1)^n$$

    表示持续交替振荡。

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3. 行为图示（直观理解）

• 实数特征值（增长）：

  $$2^n \rightarrow 4, 8, 16, 32, \dots$$

• 实数特征值（衰减）：

  $$(0.5)^n \rightarrow 0.5, 0.25, 0.125, \dots$$

• 复数特征值（振荡）：

  $$(-0.5 + 0.866 i)^n \rightarrow \text{振荡曲线}$$

• 复数特征值（振荡衰减）：

  $$(0.8 e^{i \pi/3})^n \rightarrow \text{振荡且收敛}$$

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4. 例子分析

例1：斐波那契数列矩阵

$$T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

特征值：

$$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618, \quad \lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$$

• 主特征值 $\lambda_1 > 1$ 导致斐波那契数列指数增长。
• 次特征值 $\lambda_2$ 表示一个衰减且交替振荡的模式。

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例2：振荡递推关系

递推关系：

$$a_n = a_{n-1} - a_{n-2}$$

矩阵形式：

$$T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$

特征值：

$$\lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

• 模 $|\lambda| = 1$，表示持续振荡行为。

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5. 题目矩阵 $T$ 的特征值与行为分析

题目中的递推关系：

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + 2a_{n-3}$$

矩阵 $T$：

$$T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

特征值：

$$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \quad \lambda_3 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$$

• $\lambda_1 = 2$ 表示指数增长行为。
• 复数特征值 $\lambda_2, \lambda_3$ 表示振荡行为。

最终数列表现为指数增长叠加振荡模式。

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6. 矩阵 $T$ 反映的递推关系性质

• 主特征值主导增长：模最大的特征值 $\lambda_1 = 2$ 决定了递推关系的长期增长趋势。
• 振荡特征值影响短期行为：复数特征值 $\lambda_2, \lambda_3$ 决定短期的振荡特性，可能在初期引起交替增减。
• 矩阵的阶数反映递推阶数：矩阵 $T$ 的阶数为 3，说明递推关系涉及到前三项。

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7. 总结

• 特征值的模和实部决定递推关系的增长、衰减或振荡行为。
• 实特征值表示增长或衰减，复数特征值表示振荡或振荡衰减。
• 递推关系矩阵 $T$ 的特征值和特征向量全面反映了数列的长期行为和短期特性。