三维空间结构投影到指定平面

三维空间结构投影到指定平面，可以用计算机图形学中的投影变换来实现。以下是具体步骤：

1. 定义投影的平面 (Camera 平面)

• 假设投影平面是二维平面，可以用一个平面方程表示：

  $$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) = 0$$

  其中：

  • $\mathbf{n}$ 是平面法向量
  • $\mathbf{r}$ 是空间点的坐标
  • $\mathbf{r_0}$ 是平面上一点（通常可以选为原点或Camera中心）

• 如果投影平面是正交的，我们需要摄像机的视角参数，例如：

  • 摄像机位置 $\mathbf{c}$
  • 投影方向（光线方向）$\mathbf{d}$

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2. 定义三维矩阵 $\mathbf{A}$

• 三维结构可以用三维矩阵 $\mathbf{A}(x, y, z)$ 表示，每个位置存储结构属性。

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3. 选择投影方式

投影方式分为两种：

a. 正交投影 (Orthographic Projection)

• 没有透视效果，光线平行。
• 投影公式：

  $$\mathbf{p} = \mathbf{r} - (\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r_0})) \cdot \mathbf{n}$$

  其中 $\mathbf{p}$ 是投影点。

b. 透视投影 (Perspective Projection)

• 有透视效果，光线从摄像机发出。
• 投影公式：

  $$\mathbf{p} = \mathbf{c} + \lambda (\mathbf{r} - \mathbf{c})$$

  其中：
  • $\mathbf{p}$ 是投影点
  • $\lambda = \frac{d}{\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{c})}$，其中 $d$ 是从摄像机到投影平面的距离。

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4. 计算投影坐标

将三维点 $\mathbf{r} = (x, y, z)$ 转换到二维投影平面 $\mathbf{p} = (u, v)$，使用相机平面的局部坐标系：

1. 确定平面的两个基向量 $\mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}$，它们与 $\mathbf{n}$ 正交。
2. 计算投影点相对于平面原点的偏移：

   $$u = (\mathbf{p} - \mathbf{r_0}) \cdot \mathbf{e_1}$$

   $$v = (\mathbf{p} - \mathbf{r_0}) \cdot \mathbf{e_2}$$

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5. 投影矩阵表示

如果需要更高效的计算，可以将以上操作用矩阵形式表示。投影矩阵 $\mathbf{P}$ 的形式如下：

• 正交投影矩阵：

  $$\mathbf{P} = \mathbf{I} - \mathbf{n} \mathbf{n}^T$$

• 透视投影矩阵：

  $$\mathbf{P} = \mathbf{K} [\mathbf{R} | \mathbf{t}]$$

  其中：
  • $\mathbf{K}$ 是内参矩阵
  • $\mathbf{R}, \mathbf{t}$ 是外参旋转和平移矩阵

用 $\mathbf{P}$ 作用在点 $\mathbf{r}$ 上，可以直接得到投影点。

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6. 实现代码 (Python)

import numpy as np

def orthographic_projection(points, plane_normal, plane_point):
    """正交投影"""
    plane_normal = plane_normal / np.linalg.norm(plane_normal)
    projected_points = []
    for point in points:
        vec = point - plane_point
        projection = point - np.dot(vec, plane_normal) * plane_normal
        projected_points.append(projection)
    return np.array(projected_points)

def perspective_projection(points, camera_position, plane_normal, plane_point, d):
    """透视投影"""
    plane_normal = plane_normal / np.linalg.norm(plane_normal)
    projected_points = []
    for point in points:
        vec = point - camera_position
        lambda_val = d / np.dot(plane_normal, vec)
        projection = camera_position + lambda_val * vec
        projected_points.append(projection)
    return np.array(projected_points)

# 示例：定义参数
points = np.array([[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]])  # 三维点
plane_normal = np.array([0, 0, 1])  # 平面法向量
plane_point = np.array([0, 0, 0])  # 平面上一点
camera_position = np.array([0, 0, -5])  # 摄像机位置
d = 1  # 距离

# 计算投影
proj_orth = orthographic_projection(points, plane_normal, plane_point)
proj_persp = perspective_projection(points, camera_position, plane_normal, plane_point, d)

print("正交投影：", proj_orth)
print("透视投影：", proj_persp)

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7. 输出二维投影结果

根据投影的 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 坐标，将三维矩阵中所有点映射到目标平面即可完成投影。