例题-拉格朗日函数求极值

我们考虑 $r_1 + r_2 + r_3 = 0$，并要求 $r_1, r_2, r_3$ 构成向量范数的最小值。我们需要最小化 $\|r\|^2$，其中 $r = (r_1, r_2, r_3)$。假设 $r_1, r_2, r_3$ 是复数（或实数）。向量的范数定义为：

$$\|r\|^2 = |r_1|^2 + |r_2|^2 + |r_3|^2$$

其中 $|r_i|$ 是复数 $r_i$ 的模。如果我们要求范数 $\|r\|$ 最小化，我们可以使用拉格朗日乘数法来解决此问题。

定义拉格朗日函数：

$$\mathcal{L}(r_1, r_2, r_3, \lambda) = |r_1|^2 + |r_2|^2 + |r_3|^2 + \lambda (r_1 + r_2 + r_3)$$

其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

对每个变量求偏导数，并设置为零：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_1} = 2r_1 + \lambda = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_2} = 2r_2 + \lambda = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_3} = 2r_3 + \lambda = 0$$

由这些方程，我们可以得到：

$$r_1 = r_2 = r_3 = -\frac{\lambda}{2}$$

我们还需要满足约束条件 $r_1 + r_2 + r_3 = 0$，将上式代入约束条件中：

$$-\frac{\lambda}{2} + -\frac{\lambda}{2} + -\frac{\lambda}{2} = 0$$

$$-\frac{3\lambda}{2} = 0$$

$$\lambda = 0$$

因此，$r_1 = r_2 = r_3 = 0$。这说明在满足约束条件的情况下，向量范数的最小值为零，即：

$$\|r\|^2 = |0|^2 + |0|^2 + |0|^2 = 0$$

因此，$r_1, r_2, r_3$ 构成向量范数的最小值是 $r_1 = r_2 = r_3 = 0$。

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在包含额外约束 $r_1 = \frac{1}{2}$ 的情况下，我们需要更新拉格朗日函数来考虑这个新约束。

原问题是最小化

$$\|r\|^2 = |r_1|^2 + |r_2|^2 + |r_3|^2$$

约束条件为：

1. $r_1 + r_2 + r_3 = 0$
2. $r_1 = \frac{1}{2}$

我们引入两个拉格朗日乘数 $\lambda$ 和 $\mu$，分别对应这两个约束条件。

定义拉格朗日函数：

$$\mathcal{L}(r_1, r_2, r_3, \lambda, \mu) = |r_1|^2 + |r_2|^2 + |r_3|^2 + \lambda (r_1 + r_2 + r_3) + \mu (r_1 - \frac{1}{2})$$

我们分别对 $r_1, r_2, r_3, \lambda$ 和 $\mu$ 求偏导数，并设置为零：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_1} = 2r_1 + \lambda + \mu = 0 \quad (1)$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_2} = 2r_2 + \lambda = 0 \quad (2)$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r_3} = 2r_3 + \lambda = 0 \quad (3)$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = r_1 + r_2 + r_3 = 0 \quad (4)$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu} = r_1 - \frac{1}{2} = 0 \quad (5)$$

从方程 (5) 得到：

$$r_1 = \frac{1}{2} \quad (6)$$

将 (6) 代入方程 (1)：

$$2 \left(\frac{1}{2}\right) + \lambda + \mu = 0$$

$$1 + \lambda + \mu = 0 \quad (7)$$

从方程 (2) 和 (3) 得到：

$$r_2 = -\frac{\lambda}{2} \quad (8)$$

$$r_3 = -\frac{\lambda}{2} \quad (9)$$

将 (6), (8) 和 (9) 代入方程 (4)：

$$\frac{1}{2} - \frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} = 0$$

$$\frac{1}{2} - \lambda = 0$$

$$\lambda = \frac{1}{2} \quad (10)$$

将 (10) 代入 (8) 和 (9)：

$$r_2 = -\frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4} \quad (11)$$

$$r_3 = -\frac{\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4} \quad (12)$$

所以，我们有：

$$r_1 = \frac{1}{2}$$

$$r_2 = -\frac{1}{4}$$

$$r_3 = -\frac{1}{4}$$

最后，计算范数的平方：

$$\|r\|^2 = \left| \frac{1}{2} \right|^2 + \left| -\frac{1}{4} \right|^2 + \left| -\frac{1}{4} \right|^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{4} + \frac{2}{16} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$$

因此，最小化的范数的平方为 $\frac{3}{8}$。