矩阵多项式对角化

化简矩阵多项式 $A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19E$，其中 $A$ 是一个可以对角化的矩阵，$E$ 是单位矩阵。

首先，由于 $A$ 可以对角化，设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$，则存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{-1}$，其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线上元素为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$。

我们将多项式 $f(A) = A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19E$ 应用于 $A$ 的对角化形式：

$$f(A) = f(PDP^{-1}) = P f(D) P^{-1}$$

由于 $D$ 是对角矩阵，计算 $f(D)$ 更为简单。具体来说，如果 $D$ 的对角线元素为 $\lambda_i$，则 $f(D)$ 的对角线元素为 $f(\lambda_i)$，即：

$$f(\lambda_i) = \lambda_i^5 - 6\lambda_i^4 - 3\lambda_i^3 + 17\lambda_i^2 - \lambda_i + 19$$

因此，我们可以通过计算每个特征值 $\lambda_i$ 对应的 $f(\lambda_i)$ 来化简矩阵多项式：

1. 计算特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 对应的多项式值 $f(\lambda_i)$。
2. 将这些值填入对角矩阵 $f(D)$ 中。

最终结果为：

$$f(A) = P f(D) P^{-1}$$

其中 $f(D)$ 是一个对角矩阵，其对角线元素为 $f(\lambda_i) = \lambda_i^5 - 6\lambda_i^4 - 3\lambda_i^3 + 17\lambda_i^2 - \lambda_i + 19$。

这个过程说明了如何通过矩阵 $A$ 的特征值来化简矩阵多项式 $A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19E$。