复线积分1

当求解复函数 $\frac{7z-1}{z^2-z-6}$ 沿路径 $|z|=5$ 的线积分时, 需要首先确认所有奇点是否在该路径内. 我们已知函数的奇点为 $z = 3$ 和 $z = -2$. 因为这两个奇点的模都小于5( $|3| = 3$ 和 $|-2| = 2$) , 所以它们都在由 $|z| = 5$ 定义的圆路径内部.

给定的积分路径是 $|z| = 5$ 的逆时针方向, 我们可以使用留数定理来计算这个积分. 留数定理告诉我们, 如果一个函数在闭合路径内的所有奇点上都是解析的, 除了有限个点之外, 那么沿这个闭合路径的积分等于 $2\pi i$ 乘以这些奇点处的留数之和.

步骤:

1. 计算留数:

   • 对于 $z = 3$:

$$\text{Res}\left(\frac{7z-1}{z^2-z-6}, 3\right) = \lim_{z \to 3} (z-3) \frac{7z-1}{(z-3)(z+2)} = \frac{20}{5} = 4$$

• 对于 $z = -2$:

$$\text{Res}\left(\frac{7z-1}{z^2-z-6}, -2\right) = \lim_{z \to -2} (z+2) \frac{7z-1}{(z-3)(z+2)} = \frac{-15}{-5} = 3$$

2. 应用留数定理:

   因为路径 $|z|=5$ 包围了所有奇点, 所以线积分的计算为:

$$\int_{|z|=5} \frac{7z-1}{z^2-z-6} \, dz = 2\pi i (\text{Res}(f, 3) + \text{Res}(f, -2)) = 2\pi i (4 + 3) = 14\pi i$$

所以, 沿 $|z| = 5$ 逆时针方向一周的积分结果为 $14\pi i$.