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齐次微分方程例题

LincDocs2025年2月21日大约 2 分钟数学

齐次微分方程例题

例题1:

求解齐次微分方程 dydx=x+2y2x+3y\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{2x + 3y}。

解：

这个方程是齐次的，因为分子和分母的各项都是同次的。

  1. 我们用变量代换法令 y=vxy = vx，其中 vv 是 xx 的函数。
  2. 因此，dydx=v+xdvdx\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}。
  3. 将 y=vxy = vx 代入原方程，得到：

v+xdvdx=x+2vx2x+3vxv + x\frac{dv}{dx} = \frac{x + 2vx}{2x + 3vx}

  1. 分子分母同时除以 xx，得到：

v+xdvdx=1+2v2+3vv + x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v}{2 + 3v}

  1. 将 vv 的项移到左边，得到：

xdvdx=1+2v2+3v−vx\frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v}{2 + 3v} - v

  1. 继续化简右边：

xdvdx=1+2v−v(2+3v)2+3v=1+2v−2v−3v22+3v=1−3v22+3vx\frac{dv}{dx} = \frac{1 + 2v - v(2 + 3v)}{2 + 3v} = \frac{1 + 2v - 2v - 3v^2}{2 + 3v} = \frac{1 - 3v^2}{2 + 3v}

  1. 将方程改写为分离变量的形式：

(2+3v)dv=1−3v2xdx(2 + 3v)dv = \frac{1 - 3v^2}{x}dx

  1. 积分两边：

∫2+3v1−3v2dv=∫1xdx\int \frac{2 + 3v}{1 - 3v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx

  1. 分离变量后，左边的积分可以通过部分分数分解来解决：

2+3v1−3v2=A1−3v2+B\frac{2 + 3v}{1 - 3v^2} = \frac{A}{1 - 3v^2} + B

通过分解，设 A=3A = 3 和 B=−2B = -2，因此：

∫(31−3v2−2)dv=ln⁡∣x∣+C\int \left( \frac{3}{1 - 3v^2} - 2 \right) dv = \ln|x| + C

  1. 继续求积分：

∫31−3v2dv−∫2dv=ln⁡∣x∣+C\int \frac{3}{1 - 3v^2} dv - \int 2 dv = \ln|x| + C

  1. 解决左边的积分：

−13ln⁡∣1−3v2∣−2v=ln⁡∣x∣+C- \frac{1}{3} \ln|1 - 3v^2| - 2v = \ln|x| + C

  1. 回代 v=yxv = \frac{y}{x}，得到通解：

−13ln⁡∣1−3(yx)2∣−2yx=ln⁡∣x∣+C- \frac{1}{3} \ln|1 - 3(\frac{y}{x})^2| - 2 \frac{y}{x} = \ln|x| + C

例题2:

求解齐次微分方程 dydx=2x−yx+y\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x + y}。

解：

  1. 令 y=vxy = vx，其中 vv 是 xx 的函数。
  2. 因此，dydx=v+xdvdx\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}。
  3. 将 y=vxy = vx 代入原方程，得到：

v+xdvdx=2x−vxx+vxv + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x - vx}{x + vx}

  1. 分子分母同时除以 xx，得到：

v+xdvdx=2−v1+vv + x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v}{1 + v}

  1. 将 vv 的项移到左边，得到：

xdvdx=2−v1+v−vx\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v}{1 + v} - v

  1. 继续化简右边：

xdvdx=2−v−v(1+v)1+v=2−v−v−v21+v=2−2v−v21+vx\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v - v(1 + v)}{1 + v} = \frac{2 - v - v - v^2}{1 + v} = \frac{2 - 2v - v^2}{1 + v}

  1. 将方程改写为分离变量的形式：

(1+v)dv=2−2v−v2xdx(1 + v)dv = \frac{2 - 2v - v^2}{x}dx

  1. 积分两边：

∫1+v2−2v−v2dv=∫1xdx\int \frac{1 + v}{2 - 2v - v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx

  1. 分离变量后，左边的积分可以通过部分分数分解来解决：

1+v2−2v−v2=A2−2v−v2+B\frac{1 + v}{2 - 2v - v^2} = \frac{A}{2 - 2v - v^2} + B

通过分解，设 A=−1A = -1 和 B=2B = 2，因此：

∫(−12−2v−v2+2)dv=ln⁡∣x∣+C\int \left( \frac{-1}{2 - 2v - v^2} + 2 \right) dv = \ln|x| + C

  1. 继续求积分：

∫−12−2v−v2dv+∫2dv=ln⁡∣x∣+C\int \frac{-1}{2 - 2v - v^2} dv + \int 2 dv = \ln|x| + C

  1. 解决左边的积分：

−12ln⁡∣2−2v−v2∣+2v=ln⁡∣x∣+C- \frac{1}{2} \ln|2 - 2v - v^2| + 2v = \ln|x| + C

  1. 回代 v=yxv = \frac{y}{x}，得到通解：

−12ln⁡∣2−2(yx)−(yx)2∣+2yx=ln⁡∣x∣+C- \frac{1}{2} \ln|2 - 2(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2| + 2 \frac{y}{x} = \ln|x| + C

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