傅立叶级数项计算化简

计算高次三角函数积分时，有一些常用的技巧和方法可以简化计算过程。以下是一些技巧：

1. 使用三角函数恒等式

三角函数的幂可以用三角恒等式化简。例如：

• $\sin^2(t)$ 和 $\cos^2(t)$ 可以用半角公式表示：

  $$\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}, \quad \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$$

• $\sin^4(t)$ 可以进一步化简为：

  $$\sin^4(t) = \left(\frac{1 - \cos(2t)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2t) + \cos^2(2t)}{4}$$

2. 分解复合三角函数

例如，对于 $\sin^4(t)(3\cos^2(t) - \sin^2(t))$，可以先用三角恒等式化简，再进行积分：

• 化简 $\sin^4(t)$ 和 $\cos^2(t)$：

  $$\sin^4(t) = \frac{1 - 2\cos(2t) + \cos^2(2t)}{4}$$

  $$\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$$

• 将上述表达式代入 $\sin^4(t)(3\cos^2(t) - \sin^2(t))$ 中，然后分解成可以直接积分的项。

3. 利用积分性质

一些积分可以利用对称性和周期性简化。对于奇函数在对称区间上的积分结果为零，对于偶函数在对称区间上可以简化为两倍于半区间的积分。

示例计算

例1：$\int \sin^4(t) \, dt$

使用三角恒等式：

$$\sin^4(t) = \left(\frac{1 - \cos(2t)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2t) + \cos^2(2t)}{4}$$

再使用 $\cos^2(2t) = \frac{1 + \cos(4t)}{2}$，则：

$$\sin^4(t) = \frac{1}{4} - \frac{\cos(2t)}{2} + \frac{\cos^2(2t)}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos(2t)}{2} + \frac{1 + \cos(4t)}{8}$$

最终化简为：

$$\sin^4(t) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{8}\cos(4t)$$

因此，积分为：

$$\int \sin^4(t) \, dt = \int \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{8}\cos(4t)\right) \, dt$$

分别积分各项：

$$\int \frac{3}{8} \, dt = \frac{3}{8}t$$

$$\int -\frac{1}{2}\cos(2t) \, dt = -\frac{1}{4}\sin(2t)$$

$$\int \frac{1}{8}\cos(4t) \, dt = \frac{1}{32}\sin(4t)$$

所以：

$$\int \sin^4(t) \, dt = \frac{3}{8}t - \frac{1}{4}\sin(2t) + \frac{1}{32}\sin(4t) + C$$

例2：$\int \sin^4(t)(3\cos^2(t) - \sin^2(t)) \, dt$

先化简被积函数：

$$\sin^4(t)(3\cos^2(t) - \sin^2(t)) = \sin^4(t) \left(3\frac{1 + \cos(2t)}{2} - \sin^2(t)\right)$$

再代入 $\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$：

$$3\cos^2(t) - \sin^2(t) = 3\frac{1 + \cos(2t)}{2} - \frac{1 - \cos(2t)}{2} = 2 + 2\cos(2t)$$

因此：

$$\sin^4(t)(3\cos^2(t) - \sin^2(t)) = \sin^4(t) (2 + 2\cos(2t))$$

将 $\sin^4(t)$ 用前述公式展开：

$$\sin^4(t) (2 + 2\cos(2t)) = \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{8}\cos(4t)\right)(2 + 2\cos(2t))$$

继续展开并分解每项，然后分别积分。

通过以上方法，可以大大简化计算过程。