奇点

奇点 (Singularity)

在复分析中，奇点是指函数在其上不解析的点。更具体地说，如果一个函数 f(z) 在点 z₀ 的任何邻域内都不是解析的，则称 z₀ 是 f(z) 的一个奇点。

分类：

奇点可以分为以下几类：

1. 孤立奇点 (Isolated Singularity): 如果存在一个以 z₀ 为中心的去心邻域，使得 f(z) 在该邻域内解析，则称 z₀ 是 f(z) 的一个孤立奇点。孤立奇点又可以分为以下三种：

   • 可去奇点 (Removable Singularity): 如果 $\lim_{z \to z_0} f(z)$ 存在且有限，则 z₀ 是可去奇点。可以通过重新定义 f(z₀) 的值来消除这个奇点，使函数在 z₀ 处也解析。
   • 极点 (Pole): 如上文所述。
   • 本性奇点 (Essential Singularity): 如果 $\lim_{z \to z_0} f(z)$ 不存在，且也不是无穷大，则 z₀ 是本性奇点。函数在本性奇点附近的性质非常复杂。例如，根据卡西乌斯-魏尔施特拉斯定理，函数在本性奇点的任何邻域内都无限接近任何复数。

2. 非孤立奇点 (Non-isolated Singularity): 如果 z₀ 的任何邻域内都包含 f(z) 的其他奇点，则称 z₀ 是 f(z) 的一个非孤立奇点。例如，函数 f(z) = 1/sin(1/z) 在 z = 0 处有一个非孤立奇点，因为 sin(1/z) = 0 有无穷多个解趋近于 0。

例子：

• f(z) = sin(z)/z 在 z = 0 处有一个可去奇点。
• f(z) = 1/z 在 z = 0 处有一个简单极点。
• f(z) = e^(1/z) 在 z = 0 处有一个本性奇点。

希望以上简介能够帮助你理解极点和奇点的概念。总结来说，极点是奇点的一种特殊类型，它具有更强的结构，可以通过洛朗级数展开和留数定理进行分析。

计算

处理奇点的核心手段是使用复指数的周期性：

$$e^{2k\pi i}=1$$

使用这个公式可以在计算奇点的等式中凭空增加一个复指数项，然后对此项开根号，再根据周期性中主值的约束，$0\leq z\leq 2\pi$ 解出有限个z

极点的计算方法极点计算示例