极点

在复分析中，极点是一种特殊的奇点，它比一般的奇点有更强的结构。

定义

定义

设函数 $f(z)$ 在点 $z₀$ 的某个去心邻域内解析（即在 $z₀$ 的某个邻域内除了 $z₀$ 以外都解析）。如果存在正整数 $m$，使得：

$$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = L \neq 0$$

其中 L 是一个有限的复数，则称 z₀ 是 f(z) 的一个 m 阶极点 或 m 级极点。当 m = 1 时，称为 简单极点。

等价定义

如果函数 $f(z)$ 在点 $z₀$ 的某个去心邻域内有洛朗级数展开：

$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$$

若存在正整数 $m$，使得 $a₋ₘ ≠ 0$，且对于所有 $n > m$，都有 $a₋ₙ = 0$，则称 $z₀$ 是 $f(z)$ 的一个 $m$ 阶极点。

Example

函数 $f(z) = 1/z²$ 在 $z = 0$ 处有一个二阶极点。

性质

• 极点是孤立奇点的一种
• 在极点附近，函数的值趋于无穷大
• 可以计算极点的留数