留数

留数是函数在其奇点处的行为的量化表示

定义

极点处的留数可以通过以下公式计算：

$$Res(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z - z_0)^m f(z)]$$

对于简单极点 ($m = 1$)，公式简化为：

$$Res(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$$

如果 $f(z) = g(z)/h(z)$，其中 $g(z)$ 和 $h(z)$ 在 $z₀$ 解析，且 $g(z₀) ≠ 0$，$h(z₀) = 0$，$h'(z₀) ≠ 0$，则 $z₀$ 是 $f(z)$ 的简单极点，且留数为 $g(z₀)/h'(z₀)$。