极点的计算方法

问题

求解方程的极点

$$\frac{1}{z^4 + 1}$$

1. 题目分析

目标是求解方程：

$$z^4 + 1 = 0$$

2. 转化为指数形式

方程可以写成：

$$z^4 = -1$$

解题关键是意识到欧拉公式的结论：

$$1 = e^{2i\pi k}$$

$$-1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}$$

其中 $k \in \mathbb{Z}$ 表示任意整数。

3. 求解 $z$

对等式两边开四次方：

$$z = \left(e^{i(\pi + 2k\pi)}\right)^{1/4} = e^{i\frac{(\pi + 2k\pi)}{4}}$$

由于 $e^{2i\pi} = 1$，函数具有周期性，只需要考虑主值范围内的角度$e^{0i}\leq e^{\frac{(1+2k)\pi}{4}i}<e^{2\pi i}$ 得到符合条件的 $k = 0, 1, 2, 3$。

4. 取不同的 $k$ 值

选择 $k = 0, 1, 2, 3$，分别得到四个不同的解：

$$z_0 = e^{i \frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$z_1 = e^{i \frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$z_2 = e^{i \frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$z_3 = e^{i \frac{7\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

5. 结论

方程 $z^4 + 1 = 0$ 的四个复数根分布在复平面上，等间隔地围绕原点，间隔角度为 $90^\circ$ 或 $\frac{\pi}{2}$。利用 $e^{2i\pi} = 1$ 这一事实是解决此类问题的关键步骤。这类问题可以归纳为利用指数形式解决复数方程的通用方法。