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2025年2月21日大约 2 分钟
复分析（英语：Complex analysis）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。
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基本概念
复数的表示
- 复数的代数形式与几何表示
- 极坐标形式与指数形式
- 复数域的完备性
复平面的坐标变换
- 仿射变换
- 旋转与缩放
- 共轭与反演
复变函数
解析函数
- 定义与基本性质
- 柯西-黎曼方程
- 全纯函数与亚纯函数
复数域的微分与积分
- 复数导数
- 曲线积分
核心定理与公式
- 柯西积分定理
- 柯西积分公式
- 留数定理
级数与展开
- 泰勒级数
- 定义与应用
- 洛朗级数
- 定义与奇点分类
- 收敛半径与发散环
奇点理论
奇点的分类
- 可去奇点
- 极点
- 本性奇点
极点的计算方法
- 一阶与高阶极点
- 计算示例
解析延拓
- 定义与方法
- 单值化过程
应用方法与高级主题
- 傅里叶变换与复变分析
- 复对数函数与复幂函数
- 反圆锥曲线函数与对数函数的统一表示
- 变换方法
- 拉普拉斯变换
- 共形映射