简介

复分析 - 维基百科，自由的百科全书

复分析（英语：Complex analysis）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数的数学理论。
 
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。复变分析的应用领域较为广泛，在其它数学分支和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。

学习路线

课程逻辑递进关系：

• 从基础到核心: 先建立复数和复变函数的基本概念。
• 引入核心概念: 介绍“解析性”，这是复分析的灵魂。
• 建立核心工具: 引入“复积分”，并由此引出两大核心定理——柯西积分定理与公式。
• 理论的深化: 利用核心定理推导出函数的级数表示（泰勒级数与洛朗级数）。
• 理论的应用: 利用洛朗级数分析函数的“奇点”，并最终引出强大的计算工具——“留数定理”。

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目录

第一章：复分析基础

• 1.1 复数与复平面
• 1.2 复变函数

第二章：解析函数

• 2.1 复函数的导数与柯西-黎曼方程
• 2.2 解析函数
  • 与全纯函数的关系

第三章：复积分与柯西理论

• 3.1 复变函数的积分
• 3.2 柯西积分定理
• 3.3 柯西积分公式

第四章：复级数

• 4.1 泰勒级数
• 4.2 罗兰展开

第五章：奇点与留数理论

• 5.1 奇点
  • 5.1.1 极点
  • 5.1.2 极点计算示例
• 5.2 亚纯函数
• 5.3 留数
• 5.4 留数定理

第六章：应用

• 6.1 利用留数定理计算实积分
• 6.2 共形映射简介

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