解析函数

解析函数是局部上由收敛幂级数表示的函数，分为实解析函数和复解析函数。两者均为无穷可导，但复解析函数（全纯函数）具有一些实解析函数所不具备的性质。

定义

设开集 $D \subseteq \mathbb{R}$，函数 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$。若对任意 $x_0 \in D$，存在 $x_0$ 的开邻域 $U \subseteq D$，使得 $f$ 在 $U$ 内可表示为收敛幂级数：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$$

则称 $f$ 为 $D$ 上的实解析函数。复解析函数的定义类似，将实数域替换为复数域即可。一个函数是复解析的，当且仅当它是全纯的，即在其定义域内处处复可微。

示例

• 解析函数：

  • 多项式函数：如 $f(x) = x^2 + 3x + 2$。
  • 指数函数：如 $f(z) = e^z$，其泰勒级数在整个复平面上收敛。
  • 三角函数、对数函数、幂函数等在其定义域内均为解析函数。

• 非解析函数：

  • 绝对值函数 $f(x) = |x|$，在 $x = 0$ 处不可微，故非解析。
  • 分段定义的函数在分段点通常不是解析的。
  • 复共轭函数 $f(z) = \overline{z}$ 非复解析函数。

性质

• 解析函数的和、积与复合仍是解析函数。
• 在开集上非零的解析函数，其倒数也是解析函数。
• 可逆解析函数的导数处处不为零，则其反函数也是解析函数。
• 所有解析函数均为无穷可微函数，但反之不成立。对于复函数，若一次可微，则处处解析。

解析与可微

存在无穷可微但非解析的函数，典型的例子是：

$$f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$$

该函数在 $x = 0$ 处的泰勒级数为零，但在任意邻域内有无穷多个零点，故非解析。然而，复解析函数与全纯函数等价，凡复解析函数必为全纯函数，反之亦然。

实解析函数与复解析函数的差异

• **刘维尔定理：**定义在整个复平面上的有界解析函数必为常数，但此结论对实解析函数不成立。
• 复解析函数在某点的幂级数展开在其收敛半径内有效，而实解析函数可能在某点的泰勒级数在其收敛半径内发散。

多元解析函数

多元解析函数是局部上可表示为多元幂级数的函数。它们在多维空间中具有与一元解析函数相似的性质，但在二维及以上的复解析函数中，零点集可能不是离散的，例如根据Hartogs扩张定理，二元以上的复解析函数的零点集不会是离散的。

注：以上内容参考自维基百科“解析函数”页面。